因g（﹣t）=﹣g（t），
故g（t） 是奇函数，观察函数 y=2sinπt（红色部分） 与曲线y= （蓝色部分）的图象可知，
在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点， 其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0， 从而x1+x2+…+x7+x8=8， 故答案为：8．
点评： 本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
15．若在区间[1，2]上存在实数x使2（2x+a）＜1成立，则a的取值范围是 （﹣∞，） ．
考点： 函数恒成立问题．
专题： 转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： 2（2x+a）＜1可化为a＜2﹣2x，则在区间[1，2]上存在实数x使2（2x+a）＜1
﹣x
成立，等价于a＜（2﹣2x）max，利用函数的单调性可求最值．
x﹣x
解答： 解：2（2x+a）＜1可化为a＜2﹣2x，
x
则在区间[1，2]上存在实数x使2（2x+a）＜1成立，
﹣x
等价于a＜（2﹣2x）max，
﹣x
而2﹣2x在[1，2]上单调递减， ∴2﹣2x的最大值为2﹣2=﹣， ∴a＜﹣，
故a的取值范围是（﹣∞，）， 故答案为：（﹣∞，）．
点评： 该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键．
﹣x
﹣1
x
﹣x
x
x
16．给出下列四个命题：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件； ②当x＞0且x≠1时，有lnx+
≥2；
③已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3； ④若函数
为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点
成
中心对称．
其中所有正确命题的序号为 ①③ ．
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列；解三角形；简易逻辑．
分析： 由三角形中的大边对大角结合正弦定理判断①；举反例说明②错误；根据等差数列的性质可说明③正确；直接由函数图象的平移说明④错误． 解答： 解：对于①，由A＞B，得边a＞边b（大角对大边）， 根据正弦定理知：则sinA＞sinB；
由sinA＞sinB，根据正弦定理知：
=
，
=
，
则边a＞边b，根据大边对大角，则有A＞B．
∴△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件．命题①正确； 对于②，若0＜x＜1，则lnx＜0，lnx+
≥2不成立．命题②错误；
对于③，等差数列{an}若S7＞S5，则2a1+11d＞0，则S9﹣S3=6a1+33d＞0，即S9＞S3，命题③正确；
对于④，函数y=f（x﹣）为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称， 而函数y=f（x）的图象是把y=f（x﹣）的图象向左平移个单位得到的， ∴函数y=f（x）的图象一定关于点F（﹣，0）成中心对称．命题④错误．
故答案为：①③
点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了函数图象的平移，是中档题．
三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。 17．已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=2（n+1）an+n（n+1+（n∈N）． （1）若bn=
+1，试证明数列{bn}为等比数列；
*
（2）求数列{an}的通项公式an及其n项和Sn．
考点： 数列递推式；等比关系的确定；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）由nan+1=2（n+1）an+n（n+1），得
由此可得数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列；
，即，
（2）由（1）中的等比数列求出数列{bn}的通项公式，进一步得到利用分组求和及错位相减法求得数列{an}的前n项和Sn． 解答： （1）证明：由nan+1=2（n+1）an+n（n+1），得
，
∴
，即bn+1=2bn，
，然后
又b1=2，
∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）解：由（1）知∴∴
=1×2+2×2+…+n?2﹣（1+2+…+n） =令则
，
， ．
2
n
，
，
，则
两式相减得：则∴
．
．
﹣n?2，
n+1
点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题． 18．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论； （2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．
考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；转化思想．
分析： （1）由题意及图形取AB的中点F，AC的中点M，得到四边形EMCD为矩形，利用线面平行的判定定理证得线面平行；
（2）由题意利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后在三角形中解出即可． 解答： 解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P． 证明如下：
取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，取AC的中点M，连接EM、EC， ∵AE=AC且∠EAC=60°，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC． ∴四边形EMCD为矩形， ∴
．又∵ED∥AC，
，
∴ED∥FP且ED=FP，
四边形EFPD是平行四边形． ∴DP∥EF，
而EF?平面EAB，DP?平面EAB， ∴DP∥平面EAB．
（2）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG， ∵ED∥AC，
∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱． ∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC， ∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l⊥平面DGC， ∴l⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角． 设AB=AC=AE=2a，则，GC=2a， ∴∴
，
．
点评： 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．
19．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1． （1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．
分析： （1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．
（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望． 解答： 解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有8
对相交棱，
∴P（ξ=0）=．
，其中距离为
的共有6对， ）=
．
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或∴P（ξ=
）=
，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=
∴随机变量ξ的分布列是： ξ 0 1 P
+
=
．
∴其数学期望E（ξ）=1×
点评： 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．