20．已知抛物线y=4
2
x的交点为椭圆（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长
为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点． （1）求椭圆标准方程；
（2）求四边形ADBC的面积的最大值；
（3）若M（x1，y1）N（x2，y2）是椭圆上的两动点，且满x1x2+2y1y2=0，动点P满足
（其中O为坐标原点），是否存在两定点F1，F2使得|PF1|+|PF2|为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）由已知条件得椭圆中的c=，又由椭圆的长轴为4，由此能求出椭圆方程；
22
（2）设直线l：x=my﹣，代入椭圆方程，得（m+2）y﹣2my﹣2=0，运用韦达定理和四边形ADBC的面积S=S△ABC+S△ABD=|AB|?|y1﹣y2|，化简整理，运用基本不等式即可求得m=0时，取得最大值4；
（3）设P（xP，yP），M（x1，y1），N（x2，y2）．由
=
+2
，运用向量的坐标运算，得
+
=1，
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值4．
2
解答： 解：（1）由题设知：抛物线y=4x的焦点为（∴椭圆中的c=，又由椭圆的长轴为4，得a=2， 222
∴b=a﹣c=2， ∴椭圆方程为
+
=1．
2
2
，0），
（2）设直线l：x=my﹣，代入椭圆方程，得：（m+2）y﹣2
设C（x1，y1），D（x2，y2），A（﹣2，0），B（2，0）， y1+y2=
，y1y2=
，判别式为（2
m）+8（m+2）＞0，
2
2
my﹣2=0，
则四边形ADBC的面积S=S△ABC+S△ABD=|AB|?|y1﹣y2|=2
=2==≤=4，
当且仅当=即m=0时，等号成立．
则四边形ADBC的面积的最大值为4．
（3）存在两定点F1，F2使得|PF1|+|PF2|为定值． 设P（xP，yP），M（x1，y1），N（x2，y2）． 由
=
+2
，得：
，①
x1x2+2y1y2=0，②
M，N是椭圆上的点，
∴x1+2y1=4，x2+2y2=4，
2222
由①②，得xp+2yP=（x1+2x1）+2（y1+2y2）
2222
=（x1+2y1）+4（x2+2y2）， ∴xP+2yP=20，即
2
2
2
2
2
2
+=1，
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值4．
点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查两线段长为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
21．已知函数f（x）=e﹣e﹣2x． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 压轴题；导数的综合应用．
分析： 对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；
对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算
，最后可估计ln2的近似值．
x
﹣x
x
﹣x
解答： 解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e+e﹣2
即f′（x）≥0，当且仅当e=e即x=0时，f′（x）=0， ∴函数f（x）在R上为增函数．
x
﹣x
，
（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e﹣e﹣4b（e﹣e）+（8b﹣4）x，
2x﹣2xx﹣x
则g′（x）=2[e+e﹣2b（e+e）+（4b﹣2）]
x﹣x2x﹣x
=2[（e+e）﹣2b（e+e）+（4b﹣4）]
x﹣xx﹣x
=2（e+e﹣2）（e+e+2﹣2b）．
x﹣xx﹣x
①∵e+e≥2，e+e+2≥4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
2x﹣2xx﹣x
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0， ∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意． ②当b＞2时，若x满足2＜e+e＜2b﹣2即
x
﹣x
，得
，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，当
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．
（Ⅲ）∵1.4142＜x，
＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e﹣e
的近似值，故将ln
即．
，
；
，得
＞2，当
2x
﹣2x
时，g（x）＜0，不符合题意．
﹣4b（e﹣e）+（8b﹣4）
x﹣x
为了凑配ln2，并利用得
代入g（x）的解析式中，
当b=2时，由g（x）＞0，得从而令时，
由g（x）＜0，得
．
，得
所以ln2的近似值为0.693．
点评： 1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．
2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．
3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．
请考生从第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。选修4-1：几何证明选讲
22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD?DE=2PB．
2
考点： 与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 专题： 选作题；立体几何．
分析： （Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是
的中点，从而BE=EC；
2
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD?DE=2PB． 解答： 证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D为PC的中点， ∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E是
的中点，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C， ∴PA=PB?PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD，
∴BD?DC=PB?2PB， ∵AD?DE=BD?DC， ∴AD?DE=2PB．
2
2
点评： 本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
选修4-4：参数方程选讲
23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为
）=4
．
极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： （1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程． （2）求得椭圆上的点
到直线x+y﹣8=0的距离为
，可得d的最小值，以及此时的α的
值，从而求得点P的坐标． 解答： 解：（1）由曲线C1：
，
即曲线C1的普通方程为：由曲线C2：
． 得：
，
，可得
，两式两边平方相加得：
即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0， 即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．
（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点
到直线x+y
﹣8=0的距离为∴当
时，d的最小值为
，此时点P的坐标为
，
．
点评： 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．
选修4-5：不等式选讲 24．设函数f（x）=
+
的最大值为M．
（Ⅰ）求实数M的值；
（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．
考点： 二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．