数学专题之【以圆为基础】精品解析
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中考数学中以圆为框架的综合计算与证明专题训练与解析【100题精选】
例1．（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．
（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；
（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；
（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．
P P
D A D A A D Q
O1 O1 O1 E O2 O2 O2 E
B C B F C B C F F
（1）证明：∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点 ∴O1F∥AC且O1F＝AO2，O2F∥AB且O2F＝AO1 ∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC ∴∠BO1F＝∠CO2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点
∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90° ∴∠BO1D＝∠∠CO2E，∴∠DO1F＝∠FO2E ∴△DO1F≌△FO2E
（2）解：延长CA至G，使AG＝AQ，连接BG、AE ∵点E是半圆O2圆弧的中点，∴AE＝CE＝3 ∵AC为半圆O2的直径，∴∠AEC＝90°
∴∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝32
∵AQ是半圆O2的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90° ∴∠AQE＝∠ACE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝32 同理：∠BAP=90°，AB=AP＝52 ∴CG＝62，∠GAB＝∠QAP ∴△AQP≌△AGB，∴PQ＝BG
∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB －AC ＝42
22
22
Q
E 图1 图2 图3
D O1 A O2 C E B F P G D A O1 O2 C E Q
B F ∴BG＝BC ＋GC ＝226，∴PQ＝226
（3）设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CG⊥MF于G，过B作BH⊥MF于H，连接DH、
1
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——————————————————————————————————————— AD、DM
∵F是BC边的中点，∴S△ABF＝S△ACF，∴BH＝CG
由（2）知，∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2＋∠3＝90° ∵FM⊥PQ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3 同理：∠2＝∠4
∴△AMQ≌△CGA，∴AM＝CG，∴AM＝BH P 同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90° ∴∠ADB＝∠AHB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90° M ∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上
1Q A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上 7629D 且∠DBH＋∠DAH＝180° A 385∴∠5＝∠8，∠6＝∠7
O1 E ∵∠DAM＋∠DAH＝180°，∴∠DBH＝∠DAM O2 ∴△DBH≌△DAM，∴∠5＝∠9 G 4∴∠HDM＝90°，∴∠5＋∠7＝90°
C F B ∴∠6＋∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB
H 又AB是半圆O1的直径，∴PA是半圆O1的切线
︵2．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AB上的一个动点（不与点A、B
重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；
（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
B
D C
E
O A
11
解：（1）∵OD⊥BC，∴BD＝2BC＝2
1522在Rt△BOD中，OD＝OB －BD ＝2
（2）存在，长度保持不变的边为DE 连接AB
∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝OA ＋OB ＝22 ∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D是BC中点，E是AC中点
B
22
D C 1
∴DE＝2AB＝2
E 2
（3）连接OC，过D作DF⊥OE于F ∵OD＝2，BD＝x，∴OD＝4－x ∵OA＝OB＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
O A
B
2
D C 数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— ∵∠AOB＝90°，∴∠DOE＝45° 4－x 在Rt△DOF中，DF＝OF＝
2
2
在Rt△DFE中，EF＝DE －DF ＝
22
4－x 22－＝x
22
2
4－x 4－x 112
2∴y＝OE2DF＝(＋x)
22222
2 2
4－x ＋x4－x
即y＝（0＜x＜2）
4
3．（上海模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y． （1）求⊙P的半径；
N （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．
M
A B P 解：（1）过B作BD⊥AC于D ∵⊙P与边AC相切，∴BD是⊙P的半径
2
2
C
5∵cotA＝2，∴sinA＝5 C H M A P B D N BD又∵sinA＝AB，AB＝15，∴BD＝35 （2）过P作PH⊥MN于H 5则PH＝5x，PM＝BD＝35 ∴MH＝PM －PH ＝ 22 1245－5x ∴y＝2MH＝22即y＝5 1245－5x 1125－5x（35≤x＜15） 2 （3）当AP＝65时，∠CPN＝∠A 理由如下： 当AP＝65时，PH＝6，MH＝3，AH＝12，∴AM＝9 ∵AC＝20，MN＝6，∴CN＝5 AM935PN35AMPN∵MP＝＝5，CN＝5，∴MP＝CN 35又∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM 3
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——————————————————————————————————————— ∴∠AMP＝∠PNC，∴△AMP∽△PNC ∴∠CPN＝∠A
4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切． （1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，⊙M与CD相切？
（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．
A D
M N B C 解：（1）连接AM、MN，设⊙M与AB相切于点E，连接ME ∵⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切
A ∴在Rt△MNE中，MN＝2ME，∴∠ANM＝30° D E ∵AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝120° ∵⊙M与∠BAD的两边相切
∴∠NAM＝60°，∴∠AMN＝90° 11
∴在Rt△AMN中AM＝2AN＝2x
M N B C
3
∴ME＝AM2sin60°＝4x
3
即y＝4x（x＞0）
（2）设⊙M分别与AD、CD相切于点F、G，连接MA、MF、MG 则MF＝FD＝MG＝y
3331
且AF＝MF2cot60°＝3y＝324x＝4x
A F M D G
N B C 13
∵AD＝4，AF＋FD＝AD，∴4x＋4x＝4
∴x＝8(3－1)
（3）作NH⊥BC于点H
若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等，则弦心距MG＝NH ①当点N在线段AB上时 ∵AB＝10，∴BN＝10－x
A M F D G 3
∴FD＝MG＝NH＝BN2sin60°＝2(10－x)
N B
4
C H 数学专题之【以圆为基础】精品解析
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∵AF＝4x，AF＋FD＝AD，∴4x＋2(10－x)＝4
104－123∴x＝ 11
A F D
②当点N在AB延长线上时
3
则FD＝MG＝NH＝BN2sin60°＝2(x－10)
M H B N G C
13x＋(x－10)＝4 42
∴x＝
104＋123
11
∴当x＝
104－123104＋123或x＝时，直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的1111
长相等
5．（上海模拟）已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线PC交半圆O于点D，连接OD．
︵︵（1）当AC＝CD时，求弦CD的长；
（2）设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，求tan∠P的值．
D
C
P A B O
A O
备用图
解：（1）连接OC ︵︵当AC＝CD时，∠POC＝∠DOC ∵BC垂直平分OP，∴PC＝OC＝4 ∴∠P＝∠POC＝∠DOC
A 备用图
O C E D DOCD
∴△DOC∽△DPO，∴DP＝DO
4CD
即4＋CD＝4，解得CD＝25－2
P A B O
1
（2）作OE⊥CD于E，则CE＝DE＝2y
︵①当点C在AD上时
5