数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— 作正六边形DEFGHI，显然边长为12cm，将DE、FG、HI两边延长，相交于点A、B、C
以A、B、C为圆心，18cm为半径画弧，三条弧相切于DE、FG、HI的中点，显然又可剪3个，
故最多可剪出9个纸杯的侧面
A A B I D C D E H O B F G C
28．（江苏模拟）如图，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于点A（2－3，0）、点B（2＋3，
︵︵1︵y 0），D是劣弧AB上一点，且AD＝2BD
（1）求⊙M的半径；
（2）P是⊙M上一个动点，如果以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形，求∠PAD的度数． 解：（1）如图1，作ME⊥x轴于E，连接MD ∵A（2－3，0）、点B（2＋3，0） ∴E（2，0），AB＝23，∴AE＝BE＝3 即点M的横坐标为2 ∵⊙M与y轴相切于点C
y ∴MC＝2，即⊙M的半径为2
（2）连接MA、MB，则MA＝MB＝2 ∴在Rt△MAE中，∴∠AME＝60° ∴∠AMB＝120° M C ︵︵1︵∵D是劣弧AB上一点，且AD＝2BD
O A B E ∴∠AMD＝40°
D 若以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形
图1 ①当PD∥BA时，如图2
则ME⊥DP，∠DMP＝2∠DME ∵∠AME＝60°，∠AMD＝40° ∴∠DME＝20°，∴∠DMP＝40° ∴∠PAD＝20°
②当PA∥BD时，如图3 y 则∠PAD＋∠ADB＝180°
∵∠AMB＝120°，∴∠ADB＝120° ∴∠PAD＝60°
P M C
C O A D M B x y C x O A D M E P 图2
B x y P C x O A D M E 图4 31 O A D E 图3 B B x 数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— ③当PB∥AD时，如图4 则∠PAD＋∠APB＝180°
∵∠AMB＝120°，∴∠APB＝60° ∴∠PAD＝120°
29．（山东莱芜）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
（1）求证：⊙D与边BC也相切；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF 时，求动点M经过的弧长（结果保留π）． M
F
D C
E H A B
（1）证明：连接DE，过点D作DN⊥BC于N ∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC ∵边AB与⊙D相切于点E，∴DE⊥AB
M ∴DN＝DE
G F ∴⊙D与边BC也相切
D C
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝23 ∵∠A＝60°，∴DE＝AD2sin60°＝3 N 即⊙D的半径是3 H A B 1E 又∵∠HDF＝∠CDA＝60°，DH＝DF，∴△HDF是等边三角形
2
过H作HG⊥DF于G，则HG＝3×sin60°＝
33 2
60×π×3133933π
∴S△HDF＝×3×＝，S扇形HDF＝＝
2243602
2
M2 D M1 F P C
∴S阴影＝S扇形HDF－S△HDF＝
3π936π－93
－＝ 244
（3）假设点M运动到点M1时，满足S△HDF＝3S△M1DF
过点M1作M1P⊥DF于P，则 3
∴M1P＝，∴∠FDM1＝30°
2
931
＝3××3×M1P 42
A H B
此时点M经过的弧长为：l1＝
30×π×3π
＝ 1802
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——————————————————————————————————————— 过点M1作M1M2∥DF交⊙D于点M2，则满足S△HDF＝3S△M1DF＝3S△M2DF
此时∠FDM2＝150°，点M经过的弧长为：l,2＝
150×π×35π
＝ 1802
π5π
综上所述，当S△HDF＝3S△MDF 时，动点M经过的弧长为 或 22
30．（山东日照）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点M（4，4），直线y＝－
3
4x＋b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点，以点A为圆心，AM为半径作⊙A．
（1）⊙M的半径为_________，b＝_________； （2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
FG
（3）若EF切⊙A于点F，分别交线段AB、BC于点G、E，且FE⊥BC，求EG的值．
（4）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． y y y C C C M M M B O A
（1）5 7
（2）直线BC与⊙A相切 理由如下：
x B O A x B O A x 备用图 备用图
328
对于y＝－4x＋7，当x＝0时，y＝7；当y＝0时，x＝3
2828∴B（3，0），C（0，7），∴OB＝3，OC＝7
y C M 连接AM，过M作MH⊥x轴于H 2816
则AH＝3，BH＝3－4＝3，MH＝4
AHMH3∴MH＝BH＝4
又∠AHM＝∠MHB＝90°，∴△AMH∽△MBH ∴∠MAH＝∠BMH
∵∠AMH＋∠MAH＝90°，∴∠AMH＋∠BMH＝90° 即AM⊥BC
∴直线BC与⊙A相切
33
O A H B x 数学专题之【以圆为基础】精品解析
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y （3）连接AM，AF
∵EF切⊙A于点F，∴∠AFG＝90°
C 又∵AM⊥BC，EF⊥BC，∴四边形AFEM是矩形
M ∴∴EF＝AM＝5，AF∥BC ∴∠GAF＝∠CBO E B 315x O A G ∴FG＝AF2tan∠GAF＝AF2tan∠CBO＝5×4＝4
155FG
∴EG＝EF－FG＝5－4＝4，∴EG＝3
F
（4）（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－41） 提示：
①当∠PQM＝90°时，MQ＝PQ ∵M（4，4），∴∠MOB＝45°
由对称性知，M、P两点关于x轴对称 ∴点Q与原点O重合 ∴Q（0，0）
②当∠PMQ＝90°时，MQ＝MP
作MH⊥x轴于H，MG⊥y轴于G，则MG＝MH，∠GMH＝90° ∴∠GMQ＝∠HMP＝90°－∠QMH
∴△MGQ≌△MHP，∴∠MHP＝∠MGQ＝90° ∴点P在x轴的正半轴上，即点P是⊙A与x轴正半轴的交点 ∴GQ＝HP＝5＋1－4＝2，∴QO＝4－2＝2 ∴Q（0，2）
③当∠MPQ＝90°时，PM＝PQ 设P（m，n），Q（0，t），分两种情况： i）若点P在y轴右侧的⊙A上
作PG⊥y轴于G，MH⊥PG于H，则△PGQ≌△MHP，得：
y M (Q) O A P x y G Q O A M H P x y M O G Q A H P ?m－4＝n－t ①?
?4－n＝m ②
222??(m－1)＋n＝5 ③
x 5－415＋41??m＝m＝??22由②、③解得?（舍去）? 3＋413－41???n＝2?n＝2
y G P Q O A x H M
5＋413－41
把m＝2，n＝2代入①，得t＝3－41
∴Q（0，3－41）
ii）若点P在y轴左侧的⊙A上，则：
y M ?4－m＝n－t ④?
?4－n＝－m ⑤
222??(m－1)＋n＝5 ⑥
P O A H x 34 Q 数学专题之【以圆为基础】精品解析
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?m＝1?m＝－4??
由⑤、⑥解得?（舍去）?
??n＝5n＝0??
把m＝－4，n＝0代入④，得t＝－8
∴Q（0，－8）
综上所述，点Q的坐标为（0，0）或（0，2）或（0，－8）或（0，3－41）
31．（陕西某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A（－3，0），点B（－23，1），连接AB，将线段AB向右平移，得到线段A′B′，设A′（t，0）．
（1）若在y轴上始终存在点P，使得∠A′PB′＝90°，求t的取值范围； （2）若在y轴上始终存在点P，使得∠A′PB′＝60°，求t的取值范围； （3）若在y轴上存在三个点P，使得∠A′PB′＝30°，求t的值．
y
B
x A O
解：（1）由A（－3，0），B（－2，3），得A′B′＝AB＝2，∠2＝∠1＝30° 当A′B′在y轴左侧时，以A′B′为直径作⊙C1 当⊙C1与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝90°
y B 31
∴C1A′＝C1P＝2A′B′＝1，∴OA′＝C1P－C1A′2cos30°＝1－2
BC1 1 3
∴t1＝2－1
P 2 当A′B′在y轴右侧时，以A′B′为直径作⊙C2 当⊙C2与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝90°
A AO x y 13∴C2A′＝C2P＝2A′B′＝1，∴OA′＝C2P＋C2A′2cos30°＝1＋2
BC2 Ax 3
∴t2＝2＋1
P O
33
∴t的取值范围是：2－1≤t≤2＋1
y D （2）当A′B′在y轴左侧时，以A′B′为边在A′B′上方作等边△A′B′D 作等边△A′B′D的外接圆⊙C1
当⊙C1与y轴相切于点P时，∠A′PB′＝60° B易知此时DA′⊥x轴，∴C1P⊥DA′
C1 P 1
′′2AB2313
∴C1A′＝C1P＝cos30°＝3，OA′＝2C1P＝3
y B(P) O A
O x
35
C2 Ax