数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— 又∵HC是⊙O的切线，∴HF＝HC
设AG＝m，则HC＝HF＝AG＝m，OG＝2－m 1
由（1）可知，EH＝EG，∴EG＝＋m，FG＝1＋m
2
在Rt△OFG中，OG ＝OF ＋FG 1222
∴(2－m)＝1＋(1＋m)，解得m＝
3
222
55
∴OG＝2－m＝，∴点G坐标为（，0）
33
15
设直线GH的函数关系式为y＝kx＋b，将点E（1，）、G（，0）代入
23
??
得? 解得?55
0＝k＋bb＝?3?4
1
＝k＋b2
k＝－
34
35
∴直线GH的函数关系式为y＝－x＋ 44
（3）连接BG，作∠BAO的平分线交BC于点M，交BG于点P 55
由（2）知，BH＝，GH＝，∴BH＝GH，∴∠HBG＝∠HGB
33
∵BC∥OA，∴∠HBG＝∠AGB，∴∠HGB＝∠AGB
即GB平分∠HGA，∴点P即为所求圆的圆心 ∵AM平分∠BAO，∴∠BAM＝45°
∴MB＝AB＝1，∴MC＝1，∴M（1，1） 设直线AM的函数关系式为y＝k1x＋b1
???0＝2k1＋b1?k1＝－1?则 解得? ?1＝k1＋b1?b1＝2??
y C H M E D P G A x B F ∴y＝－x＋2
设直线BG的函数关系式为y＝k2x＋b2 5
∵B（2，1）、G（，0）
3
O
1＝2k2＋b2????k2＝3∴? 解得? 5
?b＝－50＝k＋b?122??3
∴y＝3x－5
??y＝－x＋2
由? 解得?y＝3x－5?
?71
∴点P坐标为（，） ?144
?y＝4
x＝
74
1
∴⊙P的半径为 4
26
数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— 23．（江苏连云港）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b（b＞0）与⊙O交于A，B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点为点O′．
y （1）求证：四边形OAO′B是菱形；
（2）当点O′ 落在⊙O上时，求b的值．
B O
O x
A
y （1）证明：∵点O与点O′ 关于直线y＝x＋b对称
∴直线y＝x＋b是线段OO′ 的垂直平分线
B ∴AO＝AO′，BO＝BO′
OP 又∵OA，OB都是⊙O的半径，∴OA＝OB M ∴AO＝AO′＝BO＝BO′ N ∴四边形OAO′B是菱形 O x A （2）解：如图，连接OO′ 交直线y＝x＋b于点M 1
当点O′ 落在⊙O上时，有OM＝2OO′＝1
∵直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（－b，0）、P（0，b） ∴△ONP为等腰直角三角形，∴∠ONP＝45° 又∵OM＝1，∴OP＝2，即b＝2
24．（江苏盐城）如图所示，AC⊥AB，AB＝23，AC＝2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB＝α（0°＜α＜90°）．
︵（1）当α＝18°时，求BD的长； （2）当α＝30°时，求线段BE的长；
（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是______________．（直接写出答案）
C
D
α B A O E 解：（1）连接OD
在⊙O中，∵α＝18°，∴∠DOB＝2α＝36°
︵36π×33πC ∵AB＝23，∴BD的长为 180＝5 D （2）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
27
A α O E B
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——————————————————————————————————————— ∵α＝30°，AB＝23，∴BD＝3，AD＝AB2cos30°＝3 ∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD＋α＝90° ∵∠ADB＝90°，∴α＋∠B＝90°，∴∠CAD＝∠B ∵DE⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDA＋∠ADE＝90° ∵∠ADE＋∠EDB＝90°，∴∠CDA＝∠EDB
ACAD
∴△CDA∽△EDB，∴BE＝BD 2323∴BE＝，∴BE＝3
3
（3）60°＜α＜90° 提示：如图，当E与A重合时 ∵AB是直径，AD⊥CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90° C D ∴C、D、B三点共线 D在Rt△ABC中，AB＝23，AC＝2
AC3∴tan∠ABC＝AB＝3，∴∠ABC＝30° B EA O (E) ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°
当E′ 在BA的延长线上时，有∠D′AB＞∠DAB ∴α＞60°
又∵0°＜α＜90°，∴60°＜α＜90° 25．（江苏宿迁）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G．设AD＝a，BC＝b．
C （1）求CD的长度（用a、b表示）；
（2）求EG的长度（用a、b表示）；
（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由．
E
α
解：（1）∵∠DAB＝90°，∴DA为⊙O的切线 又∵CD为⊙O的切线，∴DA＝DE 同理，CE＝CB
又∵AD＝a，BC＝b，∴CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝b＋a＝a＋b （2）∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°
又∵∠ABC＝90°，∴∠AFE＝∠ABC＝90° ∴EF∥CB，∴△DGE∽△DBC EGDEEGa∴CB＝DC，即b＝a＋b
D A G F O B
C
ab
∴EG＝a＋b
E D
（3）EG＝FG
DGDEa
理由：∵△DGE∽△DBC，∴DB＝DC＝a＋b
G F O B
A 28
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——————————————————————————————————————— DBa＋bDBa＋bBGb∴DG＝a，∴DG－1＝a－1，即DG＝a
DGaDGaBDa＋b∴BG＝b，∴BG＋1＝b＋1，即BG＝b
BGb∴BD＝a＋b
由（2）同理可得，△BFG∽△BAD， FGBGFGbab∴AD＝BD，即a＝a＋b，∴FG＝a＋b
ab
又EG＝a＋b，∴EG＝FG
26．（江苏模拟）用一块边长为20cm的正方形铁皮可以制成一个圆锥体模型，方法是在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面，为此设计了四种方案（如图所示）． （1）试说明方案一、方案四不可行；
（2）判断方案二、方案三是否可行？如果可行，试求出当铁皮的利用率最大时圆锥的母线
长及其底面圆的半径；如果不可行，请说明理由．
方案一 方案三 方案四 方案二
解：（1）设圆的半径为r
π
方案一：∵扇形的弧长＝20×2＝10π，∴圆的半径应为5cm
又∵r＋2r＋20＝202，∴r＝(60－402)cm
∵60－402＜5，∴方案一不可行
π2010
方案四：∵扇形的弧长＝20×3＝3π，∴圆的半径应为3cm
1111
又∵2×10×r＋2×103×r＋2×20×r＝2×10×103，∴r＝(53－5)cm
10
∵3＜53－5，∴方案四不可行
（2）方案二、方案三可行 显然，方案二铁皮的利用率最大
设圆锥的母线长为l cm，底面圆的半径为r cm，则：
29
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——————————————————————————————————————— ??r＋2r＋l＝2a ①? 90πl
2πr＝180 ②??
由①②得：l＝
4002－1601002－40
，r＝ 2323
故所求圆锥的母线长为
4002－1601002－40
，底面圆的半径为 ··································· 10分
2323
27．（江苏模拟）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为18cm、圆心角是60°的扇形OAB剪去一半径为12cm的同心圆扇形OCD所围成的（不计接缝）． （1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留π）；
（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？ （3）如图3，若在一张半径为18cm的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？
A B A B
C D C D
60° 60°
O O
（1） （2）
图1 图2 图3
解：（1）设纸杯底面半径为r 依题意，2πr＝
60×2π×12
，∴r＝2（cm） 360
60×ππ2222
S侧＝360(OA －OB )＝6(18－12)＝30π（cm2）
F A C E 60°
B D （2）连接AB，过O作OE⊥CD，交弧AB于F ∵OA＝OB，∠AOB＝60°
∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝18 同理，△COD也是等边三角形 ∴∠DCO＝∠BAO，∴AB∥CD ∴AB即为长方形的长
∵OC＝12，OE⊥CD，∴CE＝DE＝6
O ∴OE＝63，∴EF＝18－63
即所需矩形纸片的长至少为18cm，宽至少为18－63cm （3）∵扇形OAB的圆心角为60°
∴在以O为圆心，18cm为半径的大圆和以12cm为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环（即小纸杯的侧面），如图
剩下的一个半径12cm的圆中可按照如下方法剪圆环：
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