数学专题之【以圆为基础】精品解析
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解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE ∵OB⊥AT于点B，∴∠AEC＝∠OBC＝90° 又∵∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△OCB ∴∠COB＝∠EAT＝30°
（2）在Rt△AEC中，CE＝AE2tan30°＝3 ∠OCB＝∠ACE＝60°
A M 设BC＝x，则OB＝3x，OC＝2x (C′222
F C B 连接ON，得(3x)＋(22)＝(2x＋3) ) 解得x＝1或x＝－13（舍去），∴x＝1 O ∴R＝2x＋3＝5
（3）这样的三角形有3个 画直径FG，连接GE
∵EF＝OE＝OF＝5，∴∠EFG＝60°＝∠BCO ∴△GEF即为所要画出的三角形
∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 ∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比 又∵两个直角三角形斜边长FG＝2R＝10，OC＝2 ∴△GEF与△OBC的周长之比为5 :1
E (B′)
N G T (O′)
11．（浙江台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫．．．做线段与线段的距离． ．．a．．．．b．．．．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是___________；
当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为___________． （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，
求d关于m的函数解析式．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M．
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； ②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0．作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
y y y B C B C B
C O A x O A x O A x
（图1）
11 （图2）
（图3）
数学专题之【以圆为基础】精品解析
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y y M C
x x O A O A
（备用图1） （备用图2）
解：（1）2
（2）当4≤m≤6时，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d＝2 当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长
∴d＝
2－(4－m)＝－m＋8m－12
22
2
y B N O B A x C C ?－m2＋8m－12（2≤m＜4）
∴d关于m的函数解析式为：d＝?
?2（4≤m≤6）
（3）①由题意可知，由线段PE，EFG，线段GK，KNP所围成的封闭图形就是点M随线段BC运动所围成的 y
P B M C E
x N O A F
K G
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为： 2×π×2＋2×2×4＝16＋4π
︵②∵m≥0，n≥0，∴点M随线段BC运动所形成图形的是线段M0E和EF 易知△AOD是两直角边为1 :2的直角三角形
MH1MH
若△AMH与△AOD相似，则 HA＝2 或 HA＝2
y B (D) O M0 M1 C M2 E M3 x M1H1当2≤m＋2＜4时，显然M1H1＞H1A，∴HA＝2
1
∵M1H1＝2，∴H1A＝1，∴OH1＝3 ∴m1＝3－2＝1
当4≤m＋2≤6即M2在线段CE上时，同理可求m2＝5－2＝3
H1 A H2 R H3 F x ︵M3H31
当6＜m＋2≤8即M3在线段EF上时，∵AH3≥2≥M3H3，∴HA＝2
3
设M3H3＝x，则AH3＝2x，∴AH3＝2x－2
12
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8222
又∵RH3＝2，∴(2x－2)＋x＝2，∴x1＝5，x2＝0（不合题意，舍去）
363626
∴OH3＝4＋2x＝5，∴m3＝5－2＝5
综上可知，存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，相应m的值为1，3，265
12．（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H，直线FH交⊙O于点G．
（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长； （2）当FH∥BE时，求FG的长；
（3）在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．
E A D
H O B C
F B
解：（1）连接OF、EF
∵BE是⊙O的直径，∴∠BFE＝90°
又∠A＝∠ABF＝90°，∴四边形ABFE为矩形 ∴AE＝BF，∴DE＝CF
∵FH与⊙O相切，∴OF⊥FH ∵FH⊥CE，∴OF∥CE ∵BO＝OE，∴BF＝CF 15
∴AE＝DE＝2AD＝2
A O B E H D
F C
（2）作OM⊥FG于M，连接OF ∵FH∥BE，∴∠BEC＝∠FHC＝90° AEAB
易证△ABE∽△DEC，∴DC＝DE
AE2
即2＝5－AE，解得AE＝1或4
①当AE＝1时，BF＝1，DE＝CF＝4 5
∴BE＝5，CE＝25，OF＝2
A O B E H G M D
85
由△CFH∽△CBE，得CH＝5
F C 13
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——————————————————————————————————————— ∴OM＝EH＝CE－CH＝25FM＝OF22
35
5，∴
－OM ＝
10
∴FG＝2FM＝35
5
②当AE＝4时，BF＝4，DE＝CF＝1 ∴BE＝2
5，CE＝
5，OG＝
5
由△CFH∽△CBE，得CH＝5
5
∴OM＝EH＝CE－CH＝4522355，∴FM＝OG
－OM ＝
5
∴FG＝2FM＝65
5
（3）连接EF，设AE＝x
则EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x 若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90° ①当点G在点F上方时
连接BG、EG，设BG、EF交于点K，作GM⊥EF于M 则∠FBG＝∠FEG＝45°
∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形
∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝11
2 EK＝1－ 2
x
FM＝x＋1－11
2 x＝1＋ 2
x
∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC ∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴
GM
EF
FM
＝
CF
1－1
∴
2x
2
1
＝
x
5－x，解得x9－579＋571＝2，x2＝2＞5（舍去）1＋2
②当点G在点F下方时
连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GM⊥BF于M 则∠GBF＝∠GEF＝45°
∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形
∴KF＝EF＝2，EK＝22
BK＝x－2，GM＝KM＝111
2(
x－2)，FM＝2＋
2(
x－2)＝
2(
x＋2)
∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF ∴Rt△FMG∽Rt△EFC，∴
FM
EF
GM
＝
CF
1
∴ 2(x＋2) 2
1＋571－571 ＝ 5－x ，解得x1＝ 2，x2＝
)
2（舍去）
2( x－2
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A E D
O H B F C
M G A E H D
O M G K B F C A E D
O B M H K F C G
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——————————————————————————————————————— 9－571＋57
综上所述，△OFG能成为等腰直角三角形，此时AE的长为 2或2
13．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．
（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；
（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）． ①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．
y y
B B
D D F C E C x x O P A O P A
图1 图2
y （1）证明：连接PC，过B作BN⊥x轴于N
B ∵PC＝PA，∴∠1＝∠2
∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6 在Rt△OBN中，OB＝ON ＋BN ＝
∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1 ∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB ∵CD⊥OB，∴CD⊥PC ∴CD是⊙P的切线
（2）解：设⊙P的半径为r
∵⊙P与OB相切于点E，∴OB⊥PE
22
6＋8＝10
22
D C 2 1 O N P A x PEr
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝OP＝10－r
y B D F E O P N C BN84
在Rt△OBN中，sin∠BON＝OB＝10＝5
r440∴10－r＝5，解得r＝9
404050
（3）①由（2）知r＝9，∴OP＝10－9＝9
A x 1022∴OE＝OP －PE ＝3
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