数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— ∵∠PCD＝∠CDE＝∠PED＝90° ∴四边形PCDE是矩形
∵PE＝PC，∴矩形PCDE是正方形 40
∴PE＝DC＝9
104020
∴BD＝OB－OE－DE＝10－3－9＝9
∵∠BFD＝∠PFC，∠BDF＝∠PCF＝90° DFBD
∴△BDF∽△PCF，∴CF＝PC
4020－CF9980即CF＝40，解得CF＝27 9
y B D G E T O 4 3
②存在
在DE延长线上截取ET＝CF ∵四边形PCDE是正方形
∴∠PET＝∠PCF＝90°，PE＝PC
∴△PET≌△PCF，∴∠4＝∠3，PT＝PF ∵∠CPE＝90°，∠GPF＝45°
∴∠GPE＋∠3＝45°，∴∠GPE＋∠4＝45° 即∠GPT＝45°，∴∠GPT＝∠GPF 又PG＝PG，∴△PGT≌△PGF ∴GF＝GT＝GE＋ET＝GE＋CF
4080
设GE＝a，则DG＝9－a，GF＝27＋a
F C P A x 408040
又DF＝DC－CF＝9－27＝27
在Rt△DFG中，DF ＋DG ＝GF
2240240808
∴(27)＋(9－a)＝(27＋a)，解得a＝9
222
8
即EG的长为 9
︵14．（浙江模拟）如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画BC交AB于D，且∠BDC
︵1
＝90°＋2∠A，点P是BC上的一个动点．
（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A＝70°，当点P运动到∠PBA＝∠PBC＝15°时，求∠ACB和∠ACP的度数；
︵（3）当点P在BC运动时，过点P作直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在
这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．
A
A
D D B
P 16
C
B
C
备用图
数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— 解：（1）△ADC是等腰三角形 1
∵∠BDC＝90°＋2∠A
111
∴∠ADC＝90°－2∠A，∠ACD＝90°＋2∠A－∠A＝90°－2∠A
∴∠ACD＝∠ADC，∴△ADC是等腰三角形 （2）∵∠A＝70°，∠PBA＝∠PBC＝15° ∴∠ACB＝180°－70°－2×15°＝80°
11
∵∠BPC＝∠BDC＝90°＋2∠A＝90°＋2×70°＝125°
A
M D P N C
B
∴∠PCB＝180°－15°－125°＝40°
∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝80°－40°＝40°
︵（3）存在．当点P运动至CD的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似
︵∵P是CD的中点，∴∠ABP＝∠CBP 设∠A＝x°，∠ABP＝∠CBP＝y°
11
则∠ACB＝180°－x－2y，∠PCB＝180°－y－(90°＋2x)＝90°－y－2x
11
∴∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝180°－x－2y－(90°－y－2x)＝90°－y－2x
∴∠PCB＝∠ACP，∴PC平分∠ACB
︵∴当点P运动至CD的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点
1
连接AP，则AP平分∠BAC，∴∠BMP＝∠CNP＝90°＋2x＝∠BPC
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似
15．（浙江模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝42，∠B＝45°．将直角三角板含45°角的顶点E放在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．
（1）在点E移动过程中，当△ABE为等腰三角形时，求CF的长； （2）在点E移动过程中，求△ADF外接圆半径的最小值．
D A
F
B E 解：（1）∵BC＝4AD＝42，∴AD＝2 11∵等腰梯形ABCD，∠B＝45°，∴AB＝2×2(BC－AD)＝2×2(42－2)＝3 C ∵∠B＝45°，∴∠BAE＋∠AEB＝135°
17
数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— ∵∠AEF＝45°，∴∠CEF＋∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠CEF，又∠B＝∠C D A BEAB∴△BAE∽△CEF，∴CF＝EC F C ECBC－BE42－BE2BE （1） ∴CF＝AB2BE＝AB2BE＝3 B E 2325若AE＝BE，则∠AEB＝90°，BE＝2AB＝2，代入（1）得CF＝2 若AB＝AE，则∠BAE＝90°，BE＝2AB＝32，代入（1）得CF＝2 若AB＝BE，则BE＝3，代入（1）得CF＝42－3 （2）设△ADF外接圆的圆心为O
∵∠ADF＝135°，∴∠AOF＝90°，∴AF＝2r
当AF最小时，r也最小；又当CF最大时，AF最小 由（1）知CF＝
42－BE1242182
2BE＝－BE ＋BE＝－(BE－22)＋ 33333
8
当BE＝22即E为BC中点时，CF最大，为3
81
此时DF＝3－3＝3
A
D O 272
作FG⊥AD于G，则FG＝DG＝6，AG＝AD＋DG＝6
G F C 5
∴AF长的最小值为：AG ＋FG ＝3 22
B E
252
∴△ADF外接圆半径的最小值为2AF＝6
16．（浙江模拟）已知直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上异于A的一点，以C为圆心的⊙C过点A，D是⊙C上的一点，如果以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，求D点的坐标．
y
1
x O 1 A
B
解：由题意，得A（2，0），B（0，－2） ∴OA＝OB＝2，AB＝22
①若CD是平行四边形的边，则CA＝CD＝AB＝22 ∴点C的坐标为（2＋22，0）或（2－22，0）
当C（2＋22，0）时，点D的坐标为（4＋22，2）或（22，－2）
y D A O B C x 18
数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— 当C（2－22，0）时，点D的坐标为（4－22，2）或（－22，－2） ②若CD是平行四边形的对角线，设AB、CD相交于点M 则CA＝CD＝2CM
22
而点C到直线AB的距离为2CA，所以CM≥2CA，即CA≤2CM
故此时A、B、C、D四点不能构成平行四边形
综上，若以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，则D点的坐标为： y y y D A C x x C O A O C O A B D B B D 17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接AB并延长AB至点D，使DB＝AB，连接OB、DC相交于点E，过点E作EF⊥OA于F，连接AE．
y（1）如果以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形，求点E的坐标； （2）如果以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，求点E的坐标； D（3）如果以点E、C、F为顶点的三角形与△ABE相似，求点E的坐标．
BE
OCFA 解：（1）由题意，∠OBA＝90°，OC＝CA＝4，CD＞CA ①若DC＝DA yD1
作DH⊥CA于H，则CH＝HA＝2CA＝2
xx
∵∠DHA＝∠OBA＝90°，∠DAH＝∠OAB DAOA
∴△DHA∽△OBA，∴HA＝BA
EO22
B2BA8
即2＝BA，∴BA＝22
CFHAx
∴OB＝OA －BA ＝214，DC＝DA＝42，∴DH＝DC －CH ＝27 ∵EF⊥OA，∴△ECF∽△DCH EFDH27
∴CF＝CH＝2＝7
22
设CF＝x，则EF＝7x
∵∠OFE＝∠OBA＝90°，∠EOF＝∠AOB
19
数学专题之【以圆为基础】精品解析
———————————————————————————————————————
EFAB
∴△OEF∽△OAB，即OF＝OB
7x222∴4＋x＝，解得x＝3
214
1427
∴OF＝4＋x＝3，EF＝7x＝3
1427∴E（3，3）
②若CA＝DA
1122则BA＝2DA＝2CA＝2，OB＝OA －BA ＝215
yDEBHAx
作DH⊥CA于H，则△DHA∽△OBA DAOA48
∴HA＝BA，即HA＝2，∴HA＝1
∴CH＝3，DH＝DA －HA ＝15 EFDH15
由△ECF∽△DCH，得CF＝CH＝3
22
OCF
设CF＝3x，则EF＝15x
EFAB
由△OEF∽△OAB，得OF＝OB
15x∴4＋3x＝
21
，解得x＝3 215
15
∴OF＝4＋3x＝5，EF＝15x＝3
15
∴E（5，3）
（2）①当点F在O、C之间时
∵∠ECF＞∠BAO，∴要使△ECF与△AOB相似，只能∠ECF＝∠AOB 此时△OCE为等腰三角形，点F为OC中点，即OF＝2 过B作BG∥DC交OA于G
∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6 ∵BG∥DC，∴△OEC∽△OBG
yOEOC42D
∴OB＝OG＝6＝3 设OE＝2x，则OB＝3x
OEOA
由△OEF∽△OAB，得OF＝OB 2x826∴2＝3x，解得x＝3
BE
4621522O∴OE＝2x＝3，∴EF＝OE －OF ＝3
215
∴E（2，3）
②当点F在C、A之间时
∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△CEF与△AOB相似，只能∠ECF＝∠OAB 此时DC＝DA
y
FCGAx
DB 20
E