数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— ∵∠PBC＝∠PEO＝90°，∠P＝∠P ∴△PBC∽△PEO，∴
PB
PC
PE
＝
PO
x＋4
即
2
＝
4
12
x＋4 ，∴y＝ 4 x
＋2x－4
4
＋y 2
显然，B不与A重合，∴x＜4
当D与C重合时，PC是半圆O的切线 ∴PC⊥OC，∠PCO＝90°
此时△PCO是等腰直角三角形
∴OP＝2OC，即x＋4＝42，x＝42－4 ∵D不与C重合，∴x＞42－4 ∴42－4＜x＜4
∴y＝1
x2
4
＋2x－4（42－4＜x＜4）
②当点C在︵AD
外时
同理，△PBC∽△PEO，∴ PB PC
PE ＝
PO
x＋4
即
2
＝
4
12
x＋4 ，∴y＝－ 4 x
－2x＋4（0＜x＜42－4）4
－y 2
（3）①当点C在︵AD
上时，过D作DG∥OP交BF于G 则△DEG∽△PEB，△DEF∽△OBF
∴
DE
DG
DG
DF
＝
1
PE
＝
PB
＝
OB
＝
OF
4＋1
y
∴
DE
1
2
PE
＝
5
，即
＝1
y
4
＋y5，解得2＝1
2
∴CE＝1，PE＝5，OE＝
422
－1
＝15
∴tan∠P＝
OE
15
PE
＝
5
②当点C在︵AD
外时，过D作DG∥OP交BE于G
则△DEG∽△PEB，△DFG∽△BFO ∴
DE
＝
DG
DG
DF
1
PE
PB
＝
OB
＝
OF
＝
4－1
y
∴
DE
1
2
PE
＝
3
，即
＝
1
y
4
－y3，解得2＝1
2
6
C E D P A B O F C E G D P A B O C E D F G P A B O
数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— ∴CE＝1，PE＝3，OE＝OE15
∴tan∠P＝PE＝3
4－1＝15
22
3
6．（上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝5，⊙B的半径长为1，⊙B交边
BC于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
C C N P
A B A B O
图1 图2
3
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝5
∴AB＝10，BC＝AB －AC ＝过点M作MD⊥AB于D
22
10－6＝8
22
C MD3
在Rt△MDB中，∠MDB＝90°，∴sinB＝MB＝5
A 36
∵MB＝2，∴MD＝5×2＝5＞1
P D B M
∴⊙M与直线AB相离
6
（2）∵MD＝5＞1＝MP，∴OM＞MP
C
若OP＝MP，易得∠MOB＝90° OBBC88
∴cosB＝BM＝AB＝10，∴OB＝5
A 842
∴OA＝10－5＝5
P O B M
若OM＝OP，过O作OE⊥BC于E EBBC815
∴cosB＝OB＝AB＝10，∴OB＝8
C
1565
∴OA＝10－8＝8
M E A
4265
∴当△OMP是等腰三角形时，OA的长为5或8 （3）连接ON，过N作NF⊥AB于F
O P B 7
数学专题之【以圆为基础】精品解析
———————————————————————————————————————
3
在Rt△NFB中，∠NFB＝90°，sinB＝5，NB＝y C
344∴NF＝5y，BF＝5y，∴OF＝10－x－5y
N A O F B ∵⊙N和⊙O外切，∴ON＝x＋y 在Rt△NFB中，ON ＝OF ＋NF
42322
∴(x＋y)＝(10－x－5y)＋(5y)
222
250－50x
∴y＝x＋40（0＜x＜5）
7．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y． （1）求BD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当CE⊥OD时，求AO的长． O
E
A B C D 解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB BDOD∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴OC＝AC
BD6
∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴6＝4，∴BD＝9
（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B ABAO
又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴AO＝AC
O E A C
D
B
y＋13x
∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴x＝4
12
∴y＝4x－13
12
∵0＜y＜8，∴0＜4x－13＜12，解得213＜x＜10
∴定义域为213＜x＜10
（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A
∴∠AOD＝180o－∠A－∠ODC＝180o－∠COD－∠OCD＝∠ADO
12
∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴4x－13＋4＝x
∴x＝2±210（舍去负值） ∴AO＝2±210 8．（安徽某校自主招生）如图，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F．设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证：
8
数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— （1）AG＝DF； （2）D、H、E三点共线． A
E
G
I H
B C D F
证明：（1）由题意I为△ABC的内心，所以∠ABH＝∠HBF ∵AF⊥BH，∴∠AHB＝∠FHB＝90o
又BH＝BH，∴△AHB≌△FHB，∴AB＝BF 又由切线长定理，得BG＝BD ∴AG＝DF
（2）连接DE、EH、AI、EI
∵∠AEI＝∠AHI＝90o，∴A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上 ∴∠AEH＝∠AIB
1
∵I为△ABC的内心，∴∠AIB＝90o＋2∠C
A
E
I B H C
G
1
∴∠AEH＝90o＋2∠C
D
∵CD＝CE，∴∠DEC＝
180o－∠C1
＝90o－∠C 22
F
∴∠AEH＋∠DEC＝180o
∴D、H、E三点共线
︵9．（安徽某校自主招生）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角90°，点B是MN上一动点，
BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q． （1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；
（2）探索OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形； （3）试说明3PQ ＋OA 是定值．
N
C
G
O
（1）证明：∵∠AOC＝90°，BA⊥OM，BC⊥ON ∴四边形OABC是矩形，∴AB∥OC，AB＝OC ∵E、G分别是AB、CO的中点 ∴AE∥GC，AE＝GC
9
2
2
N
F P
Q D
B E A M
O
备用图
M
N
F P
Q B E C G
数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— ∴四边形AECG为平行四边形，∴CE∥AG 连接OB
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点 ∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ ∴四边形EPGQ是平行四边形
（2）当∠CED＝90°时，□EPGQ是矩形 此时∠AED＋∠CEB＝90°
又∵∠DAE＝∠EBC＝90°，∴∠AED＝∠BCE
N
ADAEF B ∴△AED∽△BCE，∴BE＝BC C
yx2222
设OA＝x，AB＝y，则 ＝x，得y＝2x
y2
P G
Q O
D
A
M E
又OA ＋AB ＝OB ，即x＋y＝1
222222
322
∴x＋2x＝1，解得x＝3
3
∴当OA的长为 3时，四边形EPGQ是矩形
N
BF P AOQ D
B E A M
（3）连接GE交PQ于点O′，则O′P＝O′Q，O′G＝O′E 过P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′ PGPEGE
由△PCF∽△PEG得，PF＝PC＝FC＝2
C G
2111
∴PA′＝3A′B′＝3AB，GA′＝3GE＝3OA
O
11
∴A′O′＝2GE－GA′＝6OA
PQ AB OA
在Rt△PA′O′ 中，PO′ ＝PA′ ＋A′O′ ，即 4＝9＋36
2
2
2
222
122222
又AB ＋OA ＝1，∴3PQ ＝AB ＋3
1142222
∴3PQ ＋OA ＝AB ＋3＋OA ＝1＋3＝3
10．（浙江杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M、N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT＝30°，AE＝33，MN＝222． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R；
︵（3）点F在⊙O上（FME是劣弧），且EF＝5，将△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使
它的两个顶点分别与点E、F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
A
E M 10 F C O B N