数学专题之【以圆为基础】精品解析
———————————————————————————————————————
1427
由（1）知，E（3，3）
（3）①若∠FEC＝∠BAE，则△EFC∽△ABE ∵OB垂直平分AD，∴AE＝DE ∴∠D＝∠BAE，∴∠FEC＝∠D
∴∠ECF＝∠DEB＝∠OEC，∴OE＝OC＝4 过B作BG∥DC交OA于G
∵DB＝AB，∴CG＝AG＝2，∴OG＝6 由△OEC∽△OBG，得OB＝OG＝6
∴BE＝2，AB＝OA －OB ＝27
11
由△OEF∽△OAB，得EF＝2AB＝7，OF＝2OB＝3
22
yD
∴E（3，7）
②若∠ECF＝∠EAB，则△CFE∽△ABE ∵∠D＝∠EAB，∴∠ECF＝∠D ∴CA＝DA
BE15
由（1）知，此时E（5，3）
OFCGAx 18．（江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B．已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，EF＝24 cm．设⊙O1的半径为x cm． （1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；
（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
C A
E F O1 O2
B D 解：（1）连接O1A
∵⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B ∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D
C A 1
∴∠AO2O1＝2∠CO2D＝30°
E F O1 O2 AO1
B 在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝OO D 12
∴O1O2＝
AO1xAO1＝sin30°＝OO＝2x
sin∠AO2O112
∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形O2CD的半径为(24－3x)cm
（2）设该玩具的制作成本为y元，则
(360－60)×π×(24－3x)
y＝0.45πx＋0.06× 360
2
2
21
数学专题之【以圆为基础】精品解析
———————————————————————————————————————
2
＝0.9πx－7.2πx＋28.8π
2
＝0.9π(x－4)＋14.4π
所以当x＝4时，y的值最小．
答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小 19．（江苏南京）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角． ①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝___________° ；
②若⊙O的半径是1，AB＝2，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
P O
A B
解：（1）①90
P1 ②如图，连接AB、OA、OB
在△AOB中，∵OA＝OB＝1，AB＝2
222
∴OA ＋OB ＝AB ，∴∠AOB＝90°
︵1
当点P在优弧AB上时，∠AP1B＝2∠AOB＝45°
O A P2
B
︵1
当点P在劣弧AB上时，∠AP2B＝2(360°－∠AOB)＝135°
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图① ∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB，∴∠APB＝∠MAN－∠ANB
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图② ∵∠MAN＝∠APB＋∠ANB＝∠APB＋(180°－∠ANB) ∴∠APB＝∠MAN＋∠ANB－180°
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③ ∵∠APB＋∠ANB＋∠MAN＝180° ∴∠APB＝180°－∠ANB－∠MAN
第四种情况：点P在⊙O2内，如图④ ∠APB＝∠MAN＋∠ANB
M
P A A
N P M OOOO
1 2 1 2
B ①
N 22 B ②
数学专题之【以圆为基础】精品解析
———————————————————————————————————————
20．（江苏泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC＝25，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
O O
B
P
C A l A l
（备用图）
（1）AB＝AC．理由如下： 连接OB
∵AB与⊙O相切于点B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90° ∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90° ∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB
∵∠OPB＝∠APC，∴∠ABP＝∠ACP O ∴AB＝AC
D B （2）设⊙O的半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5－r
22222
P ∴AB ＝OA －OB ＝5－r
AC ＝PC －PA ＝(25)－(5－r)
2222
∵AB＝AC，∴5－r ＝(25)－(5－r) 解得r＝3
22222
C A l
∴AB＝
AB4OB3225－3＝4，∴sin∠BOP＝OA＝5，cos∠BOP＝OA＝5
23
数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— 过B作BD⊥OP于D
41239
则DB＝OB2sin∠BOP＝3×5＝5，OD＝OB2cos∠BOP＝3×5＝5
96
∴DP＝OP－OD＝3－5＝5
622∴PB＝DB ＋DP ＝5
5
M
（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN 111
则OE＝2AC＝2AB＝2
5－r
22
由题意，⊙O与直线MN有交点 1
∴OE≤r，即 2
E O B P 5－r≤r，∴r≥5
22
又∵直线l与⊙O相离，∴r＜5 ∴5≤r＜5
C N A l 21．（江苏常州）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y＝x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）．以点P为圆心，5m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方），点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．
（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ．试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？ （3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数．
y y
E E
D
P
A O
C 解：（1）B（3m，0），E（m，4m） （2）BQ与EQ相等，理由如下： 易得D（0，3m），作EK⊥y轴于K 则得OB＝OD，EK＝DK
∴△BOD和△EKD均为等腰直角三角形 ∴∠EDB＝90°
∴BE为△EDB外接圆的直径
∴∠EQB＝90°，∴∠QDB＝∠QEB＝45° ∴∠QBE＝45°，∴∠QEB＝∠QBE
D P B x A C （备用图） O B x y K D E F 24
P O B x A C 数学专题之【以圆为基础】精品解析
——————————————————————————————————————— ∴BQ＝EQ
（3）由（2）知，△BDE为直角三角形 易得DE＝2m，BD＝32m 在Rt△BOC中，BO＝3CO＝3m 在△BDE和△BOC中
DECO1
∠BDE＝∠BOC＝90°，且BD＝BO＝3 ∴△BDE∽△BOC，∴∠DBE＝∠OBC
∴∠∠DBC－∠DBE＝∠DBC－∠OBC＝45°
22．（江苏扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于点E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H． （1）①直接写出点E的坐标：____________；
②求证：AG＝CH；
（2）如图2，以O为圆心、OC为半径画弧交OA于点D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式；
（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
y y y
H H H B B C C C F F E E E
x O G A O D G A x O D G
图1 图2 备用图
1
解：（1）①（1，）
2
B A x ②证明：在矩形OABC中，∵EA＝EC，OA∥BC ∴∠GAE＝∠HCE
又∵∠GEA＝∠HEC，∴△AGE≌△CHE ∴AG＝CH
（2）连接ED、OF、OB
∵D为OA中点，E为OB中点 11
∴ED＝AB＝，且ED∥AB
22
y C H B E D G A x
∴∠EDO＝∠BAO＝90°，∴ED切⊙O于D 1
又直线GH切⊙O于F，∴EF＝ED＝
2
F
O
25