Abegg,Stevens and Larson’s model (ASL model) Abegg,Stevens and Larson 1968年提出的模型是： G= G0 (1+γL)b b<1 -------------------------------------------(3.22) L≥0 式中where G0 晶核生长速率growth rate of crystal nuclei L 晶体尺寸crystal size γ,b 常数constants ASL模型能够比前面讲的模型更好地描述体系的特性，前面讲的模型中的数学不一致性也消除了。所以是一个较好的模型。 §3.4生长弥散 Growth dispersion 研究从溶液中晶体生长过程的主要兴趣是研究晶体生长速率与推动力之间的关系。通常假设在生长速率与过饱和度之间存在确定的关系，即假设在相同的实验条件下（晶体和溶液相对速度、操作温度等），相对过饱和度是决定晶面生长速率的唯一因素。然而，实验现象表明，情况并非总是如此。在固定过饱和度下，生长速率可以有很大变化。这种现象称为生长速率弥散。 研究静态溶液中生长中的晶体周围的浓度分布发现，晶体周围的浓度分布并不均匀。人们进一步观察到，与最高过饱和度溶液接触的晶面不一定就是最高生长速率的晶面。这些观察表明在生长速率和过饱和度之间不存在确定的关系。 在测量线性生长速率作为过饱和度的函数时，实验点往往相当分散。虽然还不清楚这种生长速率的分散是否能完全归因于生长速率的实际变化，不过还是说明了生长速率和过饱和度之间没有确定的关系存在。
Janse and de Jong认为生长弥散对晶体粒度分布的作用跟与尺寸有关的晶体生长的作用是一样的。对于大多数工业结晶目的来说，这一结论是足够合理的。
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第四章 粒数衡算概念
Chapter 4 The Population Balance Concept
§4.1 结晶系统的数学模型 Mathematical modeling of crystallizing systems
结晶器模型则由基于基本原理的方程组和一个经验生长速率方程组成。最一般的方程组既考虑参数的空间分布，也考虑主要参数随时间的变化。这些一般方程组可以根据具体情况简化。如稳态条件，忽略空间某些方向的变化等。例如流化床结晶器参数只在轴向有分布。这种情况示于图4.1中。
如果完全忽略变化，则系统成为集中参数模型。例如搅拌槽式结晶器。这种方式示于图4.2中。
在进行简化以前，需要知道结晶器的一些内部细节。通过考虑溶液浓度和晶体粒数密度的变化，可以区分出以下四种理想情况（见表4.1）：
Table 4.1 Model Solution Concentration Crystal Concentration Parameters Parameters 1 stirred tank lumped lumped 2 fluidized bed distributed in axial direction distributed in axial direction 3 not considered in literature distributed in axial direction lumped 4 not considered in literature lumped distributed in axial direction 表4.1 考虑了四种情况，一种是溶液和晶体都是集中参数，这是搅拌槽的理想情况；第二种是溶液和晶体都是轴向分布参数，这是流化床的理想情况；第三种是溶液轴向分布参数、晶体集中参数；第四种是溶液集中参数、晶体轴向分布参数。后面二种情况文献中提得很少。 第一种情况又可以按照产品取出方式分为二种类型，即：
a) 混合悬浮混合产品取出结晶器 b) 混合悬浮－分级产品取出结晶器
实际结晶器可以运行在表4.1所示的所有方式的任何参数分布下。这就使人们认识到 需要运用粒数衡算来分析结晶器的运行。 §4.2 粒数衡算 Population balances 整个结晶器系统的粒数守恒定律可以写成： Nin - Nout = Naccumulation -------------------------------------------------(4.1) where N 晶体总数total number of crystals. 对于晶体尺寸为l的晶体，总粒数衡算就是For crystals of size l, Nin |l- Nout|l= Naccumulation|l -------------------------------------------------(4.2) 由于晶体数在结晶系统内随点和点而不同，所以要考虑粒数密度，严格讲是频率粒数密度：
n＝n(x,y,z,l,t)???pointpopulationdensity??????????(4.3)?
式中 n 是时间t时点x, y, z处的尺寸为l的晶体粒数。where n number of crystals of
size l at the position x, y, z at time t.
n 称为点粒数密度，量纲是单位时间、单位体积、单位长度的晶粒数。
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? 这样，在稳态操作的结晶系统内，晶体总数是 Thus, the total number of crystals NT, in a crystallizer system, which is at steady state, is:
???NT?x?0y?0z?0l?0????n(x,y,z,l)dxdydzdl?? 如果粒数密度在点和点之间的变化不知道也不需要，则粒数密度可以表示成整个结晶体系的总粒数密度，即：
??N(l)?x?0y?0z?0???n(x,y,z,l)dxdydz?????????????(4.4)where N(l) 称为总粒数密度，量纲是单位长度晶粒数。number of crystals of size l under steady state conditions, total crystal population density. 如果假设粒数密度随点与点的变化可以忽略，则可以在整个结晶器悬浮体积V内求平均值，得到： n(l)=N(l)/V --------------------------------------------------------(4.5) where n(l) 平均粒数密度average population density, litre-1μm-1. 在一个小的尺寸范围Δl内，单位悬浮体积的晶体数是
?N(l)?Vl??l?n(l)dll???????????(4.6) 粒数守恒的概念是晶体粒度分布分析的基础，对于连续结晶过程的理解也很重要。 §4.3 一般粒数方程 The general population equation 作出下列假设The following assumptions are made:
1. 悬浮物占据可变体积V，被限制在固定边界和自由重力表面中。The suspension occupies a variable volume, V, and is confined by fixed boundaries and a free gravity surface.
2. 悬浮物进出物流可以认为在径向混合，但悬浮物本身不必是均匀的。The inlet and outlet streams of the suspension may be considered mixed across their pipe diameters, but the suspension itself is not necessarily uniform.
3. 悬浮物中的颗粒在给定的粒径范围内和给定的悬浮体积单元内连续分布。The
particles in the suspension follow a continuous distribution over a given size range of particles and over a given volume element of the suspension.
对于任意颗粒系统，不光是结晶系统，经历各种粒数事件，都可用图4.3表示。
当晶体粒数守恒定律用点粒数密度，n ，表示时，对于图4.3的方式可以得到如下关 系：
L2L2d2?ndLdV?[Qn?Qn]dL??L??L1iioo?L1V?[B(L)?A(L)?D(L)??(L)?M(L)?P(L)]dLdVdtV1L? -----------------------------------(4.7) where n 粒数密度population density, litre-1μm-1
n 点(x, y, z)处粒径范围L到L+dL的晶粒数number of crystals of size L to
?L+dL found at position (x, y, z) Q 悬浮液体积流率volume flow rate of suspension i, o 下标，表示进口和出口suffixes refer to the inlet and outlet
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B(L) 体积微元dV内的二次成核，因此B(L)dL是单位体积单位时间产生的 L到L+dL 范围的晶粒数secondary nucleation operating throughout the volume dV, such that B(L)dL is the number of crystals of size L to L+dL created per unit volume and unit time.
A(L) 体积微元dV内的磨损，因此A(L)dL 是单位体积单位时间产生的L到 L+dL 范围的晶粒数attrition operating throughout the volume dV, such that A(L)dL is the number of crystals of size L to L+dL created per unit volume and unit time.
D(L) 体积微元dV内的破碎，因此D(L)dL 是单位体积单位时间由于破碎产 生的L到L+dL 范围的晶粒数；对于因破碎而消失的晶体群可以认为是负值breakage operating throughout the volume dV, such that D(L)dL is the number of crystals of size L to L+dL created through breakage per unit volume and unit time; it could assume negative values for size groups where crystals cease to exist as a consequence of breakage.
λ(L) 体积微元dV内的细晶消除，因此λ(L)dL 是单位体积单位时间由于细 晶消除而消失的L到L+dL 范围的晶粒数fines removal operating throughout the volume dV, such thatλ(L)dL is the number of crystals of size L to L+dL ceasing to exist due to fines destruction.
M(L) 体积微元dV内的聚集，因此M(L)dL 是由于聚集而产生的L到L+dL 范 围的晶粒数；对于因聚集而消失的晶体群可以认为是负值agglomeration operating throughout the volume dV, such that M(L)dL is the number of crystals of size L to L+dL created through agglomeration; it can assume negative values for size groups where crystals cease to exist due to agglomeration.
P(L) 体积微元dV内的选择性产品取出，因此P(L)dL 是从体系选择性取出 的L到L+dL 范围的晶粒数preferential product removal operating throughout the volume dV, such that P(L)dL is the number of crystals of size L to L+dL preferentially withdrawn through the system.
式4.7左边微分并重排，得到Differentiating the left hand side of equation (4.7) and rearranging yields:
V??L2L1[?n??t??(n?L?dL)dt]dLdV??L2L1dVnsdLdt????????????(4.8)where ns 悬浮表面的晶体粒数密度is the crystal population density at suspension surface. 合并式4.7和4.8并重排得到Combining equation (4.7) and (4.8) yields after rearranging:
dL?(n)?L2??ndt?L1?V?[?t??L?B(L)?A(L)?M(L)??(L)?D(L)?P(L)]dV?????ns?dV?Qini?Qono?dL?0dt???????????????(4.9) 对于任意范围L1到L2的颗粒，式4.9都应恒等于零，因此For equation (4.9) to be
identically equal to zero for an arbitrary range of particles L1 to L2, it is necessary that
V?[?n??t?ns??(ndL)dt?B(L)?A(L)?M(L)??(L)?D(L)?P(L)]dV?L?
dV?Qini?Qono?0dt14
????????????????????(4.10) 式4.10为任意悬浮颗粒的一般粒数衡算方程。Equation (4.10) represents a general population equation for an arbitrary suspension of particles. 式4.10的第一项代表晶体加入规定尺寸的集合的净粒数速率。第二项代表悬浮体积的变化，最后二项代表晶体流入与流出体系的粒数速率。
如果结晶器是全混的，则点粒数密度，n ，可用平均密度代替，即：
?n?V?ndVV???????????????????(4.11)where n 平均粒数密度average population density. §4.4 分布矩 Moments of the distribution 第i阶分布矩，定义如下：
Mi??nLidL0?i?0?????????????(4.12)where n 平均粒数密度average population density L 晶体粒径crystal size 各种分布矩的物理意义是：
M0??ndL-zeroth moment (the total number of crystals
0?
?0per unit volume of crystal suspension) (4.13)
M1??nLdL-first moment (the total length of crystals
?per unit volume of crystal suspension) (4.14)
M2??nL2dL-second moment (multiplied by a surface factor
0
? gives the total crystal surface area
per unit volume of crystal suspension) (4.15)
volume of crystals per unit volume of crystal suspension, i.e.,
volume fraction of solids) (4.16)
有几种方法用分布矩来表示晶体粒度分布，即：
M3??nL3dL-third moment (multiplied by a volume factor gives the total
0cumulativenumberpercent:Ncum?%??nL0?ndLndL?100???????(4.17)0numberpercentdistribution:
N%????100????????(4.18)0ndL
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