cumulativesize
percent:Lcum?%??L0?nLdLnLdL?100?????????(4.19)0size
percentdistribution:L%?nL???100??????????(4.20)0nLdLcumulativearea
percent:Acum%????L0?nL2dLnLdL2?100????????(4.21)0area
percentdistribution:A%?nL2?0nLdLL2?100?????????(4.22)cumulativeweightpercent:
Wcum%???0?nL3dLnLdL3?100???????(4.23)0累积重量百分数，即式4.23是最常用的表达粒径分布的方法。这是因为这种粒径分布很容易从筛分法得到。在连续结晶过程中得到的典型的累积筛下重量百分数分布示于图4.4中。 §4.5 平均尺寸 Average sizes 常见的平均尺寸见图4.5。 最频繁发生的值通过相对频率曲线的最高点，即该值处的频率密度最大。这个值就叫做
weightpercentdistribution:分布的众数。对于重量分布函数 w(l)=nL3kvρc 微分上述函数并令其为零，得到
W%?nL3??0nLdL3?100????????(4.24)dw(l)dn?3kv?cnL2?kv?cL3?0dldL??????????????(4.25)解方程4.25就得到分布众数值LM，value of distribution mode, LM.
图4.5中的中线将曲线下的面积分为相等的二部分，即累积频率曲线的50％尺寸处。对于重量分布的情况，中值可由式4.23得到：
?50??
Lm0?0nL3dLnLdL3?100????????????(4.26)where Lm median size.
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平均值的垂直线通过与分布曲线相同形状的均匀厚度和密度的纸的重心。重量分布平均
－
值，L，可从下式得到：
Lw(L)dLM?L???w(L)dLM?0?0?43?????????????(4.27)L mean size.
§4.6 变异系数 Coefficient of variation 统计学中表征分布的标准方法是用分布均值来描述分布的平均值，用标准偏差来描述偏差偏离平均值的程度。标准偏差可以表示成分布均值的百分数，这个百分数就叫做变异系数。 1． 从粒数密度分布求变异系数的推导 Derivation of the coefficient of variation from the
population density distribution 变异系数定义为：
－
CV?standarddeviation?100meansize?????????????????(4.28)重量分布的标准偏差为：
(standarddeviation)?
2?0(L?L)2w(L)dL?????????????(4.29)0w(L)dL将式4.27代入式4.29，并重排，得到用分布矩表示的标准偏差：
1M5M422standarddeviation?[?()]M3M3?????????(4.30)因此，变异系数可以用分布矩表示如下：
1M5M422[?()]M3M3CV??100M4M3??????????????(4.31)2． 从实验数据估算变异系数 Estimation of the coefficient of variation from experimental data
将筛分法得到的颗粒直径与相应的累积重量百分数在算术－概率坐标纸上作图，可得到 图4.6所示的图形。
变异系数可用下式计算：
For cumulative weight percent undersize,
CV?100[L84%?L16%]2L50%L16%?L84%]2L50%????????????(4.32)For cumulative weight percent oversize,
CV?100[??????????????(4.33)实际求取时，不要把曲线人为地变成直线，而是要从图上直接读数。
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第五章 混合悬浮-混合产品取出结晶器：一种理想化的方式
Chapter 5 Mixed Suspension Mixed Product Removal Crystallizer：
An Idealized Configuration
§5.1混合悬浮混合产品取出结晶器概念 Mixed suspension mixed product removal crystallizer concept (MSMPR) 混合悬浮混合产品取出结晶器类似于连续搅拌槽式反应器。是指这么一种情况，强度变量没有空间变化，流出结晶器的液流完全代表它的整体。这样的系统示于图5.1。
图5.1表示一个全混槽，总体积是VT，液相体积是V，晶体质量是VMs，Ms叫晶浆密度。进料液体浓度cf，体积流率是Q，稳态操作，槽中溶液浓度是c。流出液体积流率也是Q，浓度是c，携带的悬浮固体的质量流率是Q Ms。假定由于液相浓度变化而引起的体积变化忽略不计，体系处于全混态。还假设整个悬浮体积内过饱和度的产生是在等温条件下发生的。
MSMPR结晶器概念有时可在实验室研究中通过复杂的实验手段达到。但常常远离工业实际。 §5.2 MSMPR方式的粒数衡算 Population balance for the MSMPR configuration
对于MSMPR，一般粒数衡算方程（式4.10）简化为：
?n??t
?(ndL)dt?B(L)?A(L)?M(L)??(L)?D(L)?P(L)?Qin?ni?LV????????(5.1)式中点粒数密度n已被式4.11平均粒数密度n取代；n0=n，因为是全混产品取出；dV/dt＝0，因为悬浮体积不变；Q/V＝1/η，η为停留时间。
式5.1可以继续简化。如果是清液进料，则ni＝0，稳态操作则 n/ t＝0。如果再假设二次成核、磨损、破碎、聚集、分级都可以忽略，则式5.1简化成：In the simplest case equation (5.1) reduces at steady state to:
?n[nG]??0?L????????????????(5.2)where G 线性生长速率is the linear growth rate dL/dt.
§5.3 MSMPR结晶器的粒数密度分布－－ 当晶体生长速度与粒径无关时 Population density distribution for MSMPR crystallizer-size independent crystal growth rate 对于MSMPR方式，稳态操作，生长速率与晶体尺寸无关的情况，式5.2进一步简化成 Equation (5.2) reduces further to:
Gdnn??dL?LG?????????????????(5.3)积分得which integrates to give:
lnn?lnn0???????????????(5.4)式5.4 表明，如果将ln n 对晶体尺寸L作图，应该得到一条直线。
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1. MSMPR结晶器中的众数Mode size in an MSMPR crystallizer
MSMPR结晶器，稳态操作，得到的众数尺寸可以由合并式4.25和式5.4得到：
L?L?2]?[3?]?0?kv?cn0Lexp[?G?G????????????????(5.5)由式5.5得到
LM＝3Gη ―――――――――――――――――――――――（5.6）
2. MSMPR结晶器的中值 Median size in an MSMPR crystallizer 稳态下MSMPR结晶器的中值可通过结合式4.26和式5.4得到：
L]dL?0G?50??100?L3?0Lexp[?G?]dLLmL3exp[??????????????(5.7)解方程5.7得到中值 Solving equation (5.7) gives the median size:
Lm＝3.67Gη ―――――――――――――――――――――――（5.8）
3. MSMPR结晶器中的平均值Mean size in an MSMPR crystallizer 类似地，稳态下MSMPR结晶器的平均值可通过合并式4.27和式5.4得到：
L]dL?M4?0G?L???LM33Lexp[?]dL?0G??L4exp[??????????????(5.9)解方程5.9得到：
L＝4.00 Gη ―――――――――――――――――――――（5.10）
-
4. MSMPR结晶器的变异系数Coefficient of variation in an MSMPR crystallizer
稳态下的MSMPR结晶器，当生长速率与晶体尺寸无关时，晶体粒度分布的变异系数可通过合并式4.31和式5.4得到。 CV＝50％ ――――――――――――――――――――――――(5.11)
5. MSMPR结晶器的悬浮密度 Suspension density in an MSMPR crystallizer 稳态操作的MSMPR结晶器，当生长速率与晶体尺寸无关时，悬浮密度可以从产品分布三阶矩得到（式4.16）。合并式4.16和式5.4得到：
Ms?kv?cn0?L3exp[?0?L]dLG??????????????(5.12)积分得and this integrates to give:
M?6kv?cn0[G?]4????????????(5.13) §5.4 MSMPR结晶器的粒数密度分布－－ 当晶体生长速度与粒径有关时Population density distribution for MSMPR crystallizer-size dependent crystal growth rate
一些结晶体系其晶体生长速率与粒径有关。这种情况下当然就会得到不同的产品粒度分
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布。这时，必须知道晶体生长速率与尺寸的关系，有一个适宜的晶体生长速率表达式是成功分析结晶器的先决条件。在目前的分析中作出关于晶体生长方式的几个假设：For the purposes of the present analysis the following assumptions regarding the manner in which crystals grow will be made:
a. 所有晶体的形状相似，可以用一个特征尺寸L表示All crystals are similar in shape and may be represented by only one characteristic dimension, L.
b. 线性生长速率与尺寸有关，可用ASL生长速率模型表示The linear growth rate, dL/dt, is assumed to be size dependent and the ASL growth rate model:
G(L)=G0(1+γL)b for b<1 L≥0
will be taken to represent the growth rate as a function of crystal size.
c. 晶体的聚集、磨损、破碎不发生Agglomeration, attrition and breakage of crystals does not occur. 将式5.2与ASL模型合并，并积分，得到Combining equation (5.2) with Abegg, Stevens and Larson’s model (equation (3.22)) and integrating gives:
1(1??L)1?bn?n0(1??L)exp[?]G0??(1?b)G0??(1?b)?b???????????(5.14)当 b=0时，式5.14就表示与尺寸无关的生长速率的粒度分布，如果定义γ为1/G0η。 For b=0, equation (5.14) gives the size distribution corresponding to size independent growth rate (see equation (5.4)) if γis defined as (1/G0η). 将G0η代入式5.14得到Substituting for G0ηin equation (5.14) yields:
1(1??L)1?bn?n0(1??L)exp[?]1?b1?b?b??????????(5.15)取对数得到or
1(1??L)1?blnn?lnn0??bln(1??L)?1?b(1?b)
????????????(5.16)当 b=0，式5.16就简化成式5.4。
为了估计与尺寸有关的生长速率对粒数密度图曲率的影响，式5.16可以简化成无因次形式： 令 y=n/n0 -----------------------------------------------------------------------------(5.17) x=γL=L/ G0η ----------------------------------------------(5.18) 则式5.16可以写成So that equation (5.16) may be rewritten as:
1(1?x)1?blny??bln(1?x)?1?b1?b???????????(5.19)对于不同的b值，式5.19示于图5.3中。
图5.3表明，当b值大时，对粒数密度有很大影响。b值大就表示生长速率与晶体尺寸强相关。
图5.4是从1.3升的连续稳态MSMPR结晶器中得到的典型结果。图中粒度范围从5 μm变到1500μm。小晶体用coulter 计数器技术测定尺寸，大晶体用筛分法测定。在37～105μm范围内，二种方法都能用。从图5.4可见，二种尺寸测量方法符合良好。证明测量结果的准确性。
粒数密度分布可用来推导尺寸、面积和重量分布。
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