?[G(L)n(L)]n(L)???B(L)?L?从L到∞积分得：
??????????????(7.12)G(?)n(?)?G(L)n(L)????1?Ln(L)dL??B(L)dLL?????????(7.13)式7.13右端第一项就是累积筛上分布N(L)的定义。
当L>20μm时，n(∞)=0以及B(L)=0，可用下式求取生长速率Since n(∞)=0 and B(L)=0 for L>20μm, the following correlation may be used to derive growth rates: G(L)=N(L)/n(L)η, L>20μm ----------------------------------------------(7.14)
应该注意从实验重量分布计算N(L)在小尺寸范围会产生相当大误差。
7.3.3 从分布变化求晶体生长速率 Derivation of crystal growth rate from distribution transients
方法是这样的：让一定分布的细晶在严格控制的条件下生长，通过分布的变化求取晶体生长速率。这是Jancic 1976年提出的方法。累积粒数筛上分布特别适合此目的。
参见图7.8，图中示出了二条任意的累积粒数筛上分布曲线变化。时间为t时，尺寸L1
到L2范围含有N1－N2颗晶体。由于晶体持续长大，时间为t +Δt时，N1－N2颗晶体变成尺寸L1+Δ L1到L2+ΔL2范围内了。 N1－N2组的晶体平均生长速率成为The average growth rate for the N1－N2 group of crystals thus becomes:
L1??L1?L2??L2)L?L2)?(1)22G(L,t)?(t??t)?t?(???????????(7.15)即and
G(L,t)???L1??L22?t???????????????(7.16)如果尺寸范围L1到L2取得足够小，以致于代表一组相同尺寸的晶体，即L1= L2，则，假设没有生长弥散，ΔL1 = ΔL2，N1= N2就是尺寸大于L1= L2的晶体数目。这样式7.16成为If the size range L1to L2 is made so small that it represents a group of crystals of constant size, i.e. L1= L2, then, assuming that there is no dispersion in crystal growth, ΔL1 = ΔL2, and N1= N2 is the number of crystals with size greater than L1= L2. Equation (7.16) thus becomes:
G(L,t)?L??L2??L?t????????????????(7.17) 因此，晶体生长速率可以由累积筛上分布的二个变化的同一坐标下的位移ΔL算出，见图7.8。
只要晶体总数保持不变，则这种方法能得到满意的结果。如果晶体总数增加，如由于二次成核，或减少，如由于溶解，则只要二次成核产生或晶体溶解的尺寸范围不考虑，则上述范围同样适用。
下面举个例子。让晶种在coulter计数器的取样烧杯内生长，这样尺寸分析就可以就地进行，不要经过取样及样品的后处理过程，因为这些过程会干扰测定精度。
图7.9示出典型的连续累积重量筛上百分数分布变化。是由coulter计数器记录下来的。尺寸表示成与晶体同体积的球体的直径。
图7.10将累积重量筛上分布变换成累积粒数筛上分布。晶体生长速率由式7.17计算。用这种方法算出的生长速率实际上已经示于图3.5中。
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第八章 结晶过程中的物理传递现象
Chapter 8 Physical Transport Phenomena in Crystallization
为了给晶体生长提供一个合适的环境，需要最佳的动量、热量和质量传递条件。例如，泵和搅拌器提供的动量传递使晶体悬浮。热量传递可以控制能量平衡，产生合适的过饱和度。质量传递使过饱和度消耗在晶体的表面上。
从本质上说，动量传递、热量传递和质量传递与其它化工单元操作没有什么不同，这方面有专门的书。只是由于结晶系统是二相体系，所以稍为复杂一些。这里只作简单介绍。 §8.1 均相液体的混合 Mixing of homogeneous liquids
均相液体混合中碰到的现象与有悬浮固体存在下的现象是相似的。均相液体混合时会碰到混合是否均匀、是层流还是湍流混合、要用什么搅拌器、需要多少功率这些问题。
这些问题请参看混合与搅拌方面的书，这里不展开讨论。 §8.2 固液悬浮物的混合 Mixing of solid/liquid suspensions
结晶系统中固液搅拌的最重要任务是使晶体颗粒处于悬浮状态，和通过在液相产生湍流而促进相际传质。所以对工程师来说，最主要的是要解决二个问题，即预测结晶固体的悬浮条件，估计功率消耗。
8.2.1 悬浮准则 Suspension criteria 在搅拌槽中，为了使固体悬浮，槽底的液体流速要大于固体颗粒的终点速度terminal velocity。为了达到这个目标，需要考虑下列因素： a) 颗粒-流体性质particle-fluid properties
1) 颗粒与流体密度差particle-fluid density difference 2) 流体粘度fluid viscosity
3) 颗粒尺寸和形状particle size and shape b) 固体浓度solids concentration c) 几何形状geometry
1) 叶轮型式impeller type
2) 叶轮离底部高度impeller elevation above the base 3) 叶轮与容器尺寸比impeller to vessel size ratio 4) 液体深度liquid depth
5) 容器形状shape of the vessel 6) 多个叶轮multiple impellers d) 放大问题scale-up problems
Zwietering 1958年对固体在搅拌槽中的悬浮准则进行了大量的研究。他用无因次分析法处理实验数据。他得到的关联式如下：
S?0.1L0.2(gNJS?ds???0.85)0.45X0.13??????????(8.1) 32
where NJS- 所有颗粒都刚好悬浮的最小搅拌器转速the minimum stirrer speed at which all particles are just suspended
υ- 运动粘度kinematic viscosity L – 颗粒直径particle diameter ρ- 流体密度fluid density
Δρ- 颗粒与流体密度差density difference between particle and fluid X- 固体在悬浮液中的浓度concentration of solids in suspension, %wt ds- 搅拌器直径the diameter of stirrer
g- 重力加速度the acceleration due to gravity
式8.1中的S是一个无因次常数，与搅拌器型式和几何形状有关。 建议阅读原文：
Zwietering, N., Chem. Eng. Science 8 (1958) 244. 图8.1举例说明固体悬浮条件。容器尺寸是：直径2.3m，搅拌器直径1.2m，整个容器内装有1万公斤溶液，固体浓度20％。由图8.1可见，固液密度差越大，则需要的搅拌器转速也越大。颗粒直径越大，则需要的搅拌器转速也越大。因为影响因素很多，实际体系需要多大搅拌速度要通过计算而定。但从图8.1可以得到数量级概念。
8.2.2 固液搅拌中所需功率 Power requirements in solid-liquid agitation 对给定的固体悬浮液所需功率可以用叶轮周围的平均液体密度估算The power required for a given suspension of solids may be estimated by using the average liquid density around the impeller:
5Ps?Pv?N3JSds??????????????(8.2)where
Ps- 所需功率power required to suspend solids Pv- 叶轮的功率因数power number of the selected impeller NJS- 颗粒悬浮的最小叶轮转速minimum stirrer speed at which particles are suspended ds- 叶轮直径impeller diameter
ρ- 平均密度，定义为average density defined as
ρ=θρc+(1-θ)ρ ------------------------------------------(8.3)
--
where θ固体的体积分率is the volume fraction of solids andρc 晶体密度the density of crystals.
Pv与叶轮型式有关。 §8.3 固液悬浮体系中的传质 Mass transfer in solid-liquid suspensions
固液悬浮物的传质可用许多关联式表示，下式只是其中之一： Sh=2.0+0.552 Re1/2 Sc1/3 -------------------------------------------(8.4) where Sh=kdL/D Sherwood数，即通过分子扩散和对流机理传递的质量与单独分子传递机理传递的质量之比Sherwood number, i.e., the ratio of mass transferred by molecular and convectional mechanism and the mass transferred by molecular mechanism alone.
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Re=vLρ/η Reynolds数，即惯性力与粘滞力之比Reynolds number, i.e., the ratio of inertial to viscous forces. Sc=η/ρD Schmidt数，即分子动量传递与分子质量传递之比Schmidt number, i.e., the ratio of molecular momentum transfer and molecular mass transfer.
式8.4经常用于结晶系统内的传质关联。
但是，要计算颗粒与流体之间的相对速度是有困难的，所以在搅拌槽中要求出颗粒的Reynolds数也是不容易的。为了克服这个困难，Levins和Glastonbury 1972年提出用单位质量的输入功率ε来表示搅拌系统的湍流程度。 对于低和中等密度材料，发现下列方程可以在广泛的范围内与实验数据相符For low and median density materials (Δρ<300 kg/m3) the following equation was found to offer good agreement with experimental data over wide range of operating conditions and for various solid-liquid systems:
L?1/3?0.62ds0.170.36Sh?2.0?0.47()()Sc?T????????(8.5)whereε单位质量功率消耗power dissipation per unit mass, (m2/s3).
当密度差较大时，传质可用类似于强制对流传递的方程描述In cases where the density difference is large, mass transfer can be satisfactorily described by an equation analogous to those proposed for forced convection transfer:
Sh?2.0?0.44(
Lv?1/20.38)Sc???????????????(8.6)where 速度项用产生滑移速度代替the velocity term is replaced by a resultant slip velocity v. where
221/2v?[v2E?vt?vs]?-
???????????(8.7)即产生滑移速度由以下三部分组成：
1) 中性密度粒子的有效速度，vE，产生于颗粒表面周围的速度梯度An effective velocity for neutral density particles, vE, arising from velocity gradients in the neighbourhood of the particle surface:
?dvE?0.93L0.64?0.41()0.23(s)0.35?T???????????(8.8)2) 颗粒终点速度，vt，对于湍流流体小于静止液体中的沉降速度。在缺乏任何预测沉降速
度的减少程度的方法之前，终点速度可假设等于表观沉降速度。The particle terminal velocity, vt, which in a turbulent fluid may be below the settling velocity in a still liquid. In the absence of any method of predicting the extent of the reduction in settling velocity (or indeed a conclusive proof that such reduction exists), the terminal velocity of a particle in an agitated vessel will be assumed here to be identical to the face settling velocity.
3) 附加滑移速度，vs，由颗粒与流体的惯性差而产生。vs的值小于沉降速度，在多数计算下， vs/vt可取0.2，不会导致精度有很大损失。An additional slip, vs, arising from difference in inertia between the particles and the fluid. The value of vs is lower than the settling velocity and for purposes of most calculations the vs/vt ratio of 0.2 may be used without considerable loss of accuracy.
vt和vs都是密度差的函数，对于中性密度粒子，vt和vs都等于零。对于比流体密集的颗
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粒，可以预期由于相对速度vt和vs的存在使传质速率增加。 §8.4 搅拌槽中的传热 Heat transfer in agitated vessels
要强化工艺物料的传热，就要强化物料主体以及传热表面的运动。对多数工业应用来说，这种运动靠泵驱动或物料流过固定表面来实现。所以工业上有各种各样的搅拌器。这些搅拌器大体上可以分为二类：
a) 非触壁搅拌器。搅拌器叶片周缘与传热表面有一定距离。non-proximity agitators, when the tip of the agitator blade rotates some distance from the heat transfer surface and
b) 触壁搅拌器，搅拌器叶片贴近或刮过传热表面。proximity agitators, when the agitator blades sweep close to, or scrape the heat transfer surface.
非触壁搅拌器包括桨式、涡轮式、叶轮式等。用于低粘度流体，高循环速率的场合。触壁式搅拌器包括小间隙（如锚式）搅拌器和刮壁搅拌器，用于高粘度、非牛顿流体、半固体甚至颗粒物料。
理解结晶器中的传热问题，对于设计结晶器是很有必要的。但这部分内容又不是结晶过程所专有。所以这里就不展开讲了。
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