函数在某点取得极值的条件 1、
（2011?上城区）设y=f（x）在R上可导，则f（（x）在x=x0处取得极值的（ ）′x0）=0是y=f条件．
充分不必要 B、必要不充分 A、C、充要
既不充分也不D、
必要
，y=f（x）在R上可导，举例子f（x）=x3题设和条件能否互推． 解答：解：y=f（x）在R上可导，当f（x）=x3在x=0处的导数为0， 但不取得极值． ∴不充分，
∴f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的必要不充分条件； 故选B．
2、
（2011?福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ） A、2
B、3
C、6
D、9
答：解：∵f′（x）=12x2-2ax-2b 又因为在x=1处有极值 ∴a+b=6
∵a＞0，b＞0 ∴ ab≤(a+b2)2=9
当且仅当a=b=3时取等号 所以ab的最大值等于9 故选D
3、
（2007?江西）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（ ） A、 -15 B、0
C、 15
D、5
答：解：∵f（x）是R上可导偶函数， ∴f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）在x=0处取得极值，即f′（0）=0， 又∵f（x）的周期为5，
∴f′（5）=0，即曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率0， 故选项为B
4、
若函数f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，则有（ ） A、α＞β B、α＜β C、α=β D、α与β的大
小不确定
得．
解答：解：∵f′（x）=2xlnx+x，g′（x）=lnx2+2
又f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β， ∴2αlnα+α=0，lnβ2+2=0 ∴ α=e-12，β=e-1 ∴α＞β 故选A．
5、
已知关于x的三次函数 f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值，则b-a的取值范围是（ ）
（-1，+∞）（-2，+∞）（-3，+∞）（-4，+∞）A、 B、 C、 D、
解答：解：f′（x）=ax2+bx+2
∵ f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值 ∴ {f′(1)＞0f′(2)＜0即 {a+b+2＞04a+2b+2＜0 ∴-4＜b-a 故选项为D
6、
函数 f(x)=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ） A、 a＞-316 B、 -65＜a＜-316
C、 a＞-65
D、 -65≤a≤-316
答：解：f′（x）=ax2+ax-2a=a（x+2）（x-1） 令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1
x∈（-∞，-2）时f′（x）的符号与x∈（-2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反
∴f（-2）= -83a+2a+4a+2a+1= 163a+1和为极值，f（1）= 13a+12a-2a+2a+1= 56a+1 ∵图象经过四个象限
∴f（-2）?f（1）＜0即（ 163a+1）（ 56a+1）＜0 解得 -65＜a＜-316 故答案为B 7、
已知函数f（x）（1，内有极值，则实数m的取值范围是（ ）= 13x3-mx2-3m2x+1在区间2） （-2，-1）∪（ 13，（- 23，- 13） A、 B、23） （l，2） C、
（- 23， 13）∪（l，2） D、
不等式即可得到答案．
解答：解：∵函数f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1 ∴f'（x）=x2-2mx-3m2，
若函数f（x）= 13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值， 则f'（x）=x2-2mx-3m2在区间（1，2）内有零点 即f'（1）?f'（2）＜0
即（1-2m-3m2）?（4-4m-3m2）＜0 解得m∈（-2，-1）∪（ 13， 23） 故选A
8、
已知函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m、n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值为（ ）
A、-13 B、-15 C、10 D、15
答：解：∵f′（x）=-3x2+2ax
函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值 ∴-12+4a=0 解得a=3
∴f′（x）=-3x2+6x
∴n∈[-1，1]时，f′（n）=-3n2+6n当n=-1时，f′（n）最小，最小为-9 当m∈[-1，1]时，f（m）=-m3+3m2-4 f′（m）=-3m2+6m
令f′（m）=0得m=0，m=2 所以m=0时，f（m）最小为-4
故f（m）+f′（n）的最小值为-9+（-4）=-13 故选A
答：解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0? {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图，
而 b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选C．
答：解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2， ∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0? {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图，
而 b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选C．
9、
已知函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则 b-2a-1的取值范围是（ ） （-∞， -14）∪（1，+∞） A、 (-1，-14) B、C、 (14，1)
D、 (12，2)
答：解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，
∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0? {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图，
而 b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选C．
10、
已知函数f（x）= 13x3+ 12ax2+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（ ） （ 22，2） B、（ 12，4） A、
（1，2） D、（1，4） C、
答：解：∵f（x）= 13x3+12ax2+2bx+c ∴f′（x）=x2+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值 ∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根 f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0 即 {b＞0a+2b+1＜a+b+2＞00
（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方，
由图知（-3，0）到直线a+b+2=0的距离 22，平方为 12为最小值， （-3，0）与（-1，0）的距离2，平方为4为最大值 故选项为B
11、
已知函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则 b-2a-1的取值范围是（ ） A、 (-1，-14) C、 (14，1)
（-∞， -14）∪（1，+∞） B、
D、 (12，2)
答：解：∵函数 f(x)=x33+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，
∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴ {f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0? {b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0 画出区域如图，
而 b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时， kPM=2-11+3=14， 当连线过N（-1，0）时， kPN=2-01+1=1， 由图知 b-2a-1∈ (14，1)． 故选C． 12、