B、必要但不充分的条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要的条件 ，举例子f（x）=|x|题设和条件能否互推． 解答：解：例如：f（x）=|x|在x=0处有极值，但x=0处不可导， 所以f'（0）≠0 ∴不必要， 而f（x）=x3在x=0处的导数为0， 但不取得极值． ∴不充分， ∴f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的即不充分也不必要条件； 故选D． 29、 函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（ ） A、a=-11，B、a=-4，C、a=11，D、a=4，b=4 b=11 b=-4 b=-11 答：解：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2 因为函数f（x）= x2+ax+1在x=1处取得极值， 所以f′（1）=0，即a=3． 故选D． 30、 若函数f（x）= x2+ax+1在x=1处取得极值，则a等于（ ） A、-5 B、-2 C、1 D、3 答：解：由题意得：f′（x）= x2+2x-a(x+1)2 因为函数f（x）= x2+ax+1在x=1处取得极值， 所以f′（1）=0，即a=3． 故选D． 31、 若函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=1处有极值，则函数f（x）的图象x=-1处的切线的斜率为（ ） A、1 B、-3 C、8 D、-12 ． 解答：解：∵函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=1处有极值， ∴f′（x）=（x2+c）+（x-2）×2x， ∵f′（1）=0，∴（c+1）+（1-2）×2=0， ∴c=1， ∴f′（x）=（x2+1）+（x-2）×2x， ∴函数f（x）的图象x=-1处的切线的斜率为f′（-1）=（1+1）+（-1-2）×（-2）=2+6=8， 故选C． 32、 设x=1与x=2是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点．则常数a=（ ） A、 -23 B、-1 C、1 D、0 答：解：∵f（x）＜f'（x） 从而 f'（x）-f（x）＞0 从而 ex[f′(x)-f(x)]e2x＞0 从而 (f(x)ex)′＞0 从而函数y= f(x)ex单调递增，故 x=2时函数的值大于x=0时函数的值， 即 f(2)e2＞f(0)所以f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）． 故选B． 33、 已知函数f（x）=ax+ex没有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A、a＜0 B、a＞0 C、a≤0 D、a≥0 或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），又导数为 f′（x）=a+ex，故a=-ex无解，根据指数函数的性质求得实数a的取值范围． 解答：解：函数f（x）=ax+ex在R上没有极值点， 即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）． 函数f（x）=ax+ex的导数为 f′（x）=a+ex， ∴a+ex=0无解，∴a=-ex无解， ∴a≥0 故选D． 34、 已知 f（x）为R上的可导函数，且f（x）＜f'（x）和f（x）＞0对于x∈R恒成立，则有（ ） ，f（2010）＞e2010-f（0） A、f（2）＜e2-f（0），f（2010）＞e2010-f（0） B、f（2）＞e2-f（0），f（2010）＜e2010-f（0） C、f（2）＜e2-f（0），f（2010）＜e2010-f（0） D、f（2）＜e2-f（0）答：解：∵函数f（x）=alnx+bx2+x， ∴f′（x）= ax+2bx+1， ∵x=1与x=2是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点， ∴f′（1）=f′（2）=0， ∴a+2b+1=0…① a2+4b+1=0…② 联立方程①②得 a=- 23，b=- 16， 故选A． 35、 函数f（x）的导函数为f/（x），若（x+1）?f′（x）＞0，则下列结论中正确的一项为（ ） A、x=-1一定是函数f（x）的极大值点 B、x=-1一定是函数f（x）的极小值点 C、x=-1不是函数f（x）的极值点 D、x=-1不一定是函数f（x）的极值点
答：解：若“函数f（x）在x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′（x0）=0”成立，反之，“f′（x0）=0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数f（x）在x0处取得极值”． 故选A．
36、
已知函数f（x）=|x|，在x=0处函数极值的情况是（ ） 没有极值 B、有极大值 A、
C、有极小D、极值情况不值 能确定
出a的范围．
解答：解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2） ∵f（x）有极大值和极小值 ∴△=16a2-36（a+2）＞0 解得a＞2或a＜-1 故选B
37、
若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ） A、-a＜a＜B、a＞2或aC、a≥2或D、a＞1或a2 a≤-1 ＜-1 ＜-2
答：解：∵（x+1）?f/（x）＞0，
∴x＞-1时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，+∞）单调递增， x＜-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（-∞，-1）单调递减，
但是函数f（x）在x=-1处不一定可导，如f（x）=|x+1|= {x+1，x＞-10x=-1-x-1，x＜-1， x=-1不是函数f（x）的极值点． 故选D．
38、
下列结论中正确的是（ ） A、导数为零的点一定是极值点
B、如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值 C、如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值 D、如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值 答：解：当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为减函数， 当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为增函数，
根据极值的定义可知函数f（x）=|x|，在x=0处函数取极小值，故选C
39、 “函数f（x）在x0处取得极值”是“f′（x0）=0“的（ ） 充分不必要B、必要不充分条A、条件 件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 答：解：对于f（x）=x3，f'（x）=3x2，f'（0）=0， 不能推出f（x）在x=0取极值， 故导数为0时不一定取到极值， 而对于任意的函数， 当函数在某点处取到极值时， 此点处的导数一定为0． 故应选 C． 40、 函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（ ） 必要条件 A、充分条件 B、必要非充分D、充要条C、条件 件 答：解：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故A错 如果在x0附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，则函数先增后减，则f（x0）是极大值 如果在x0附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0，则函数先减后增，则f（x0）是极小值 故选B
41、 已知 f（x）为R上的可导函数，且f（x）＜f'（x）和f（x）＞0对于x∈R恒成立，则有（ ） ，f（2010）＞e2010-f（0） A、f（2）＜e2-f（0）
，f（2010）＞e2010-f（0） B、f（2）＞e2-f（0）
，f（2010）＜e2010-f（0） C、f（2）＜e2-f（0）
，f（2010）＜e2010-f（0） D、f（2）＜e2-f（0）
答：解：∵f（x）＜f'（x） 从而 f'（x）-f（x）＞0 从而 ex[f′(x)-f(x)]e2x＞0
从而 (f(x)ex)′＞0 从而函数y= f(x)ex单调递增，故 x=2时函数的值大于x=0时函数的值， 即 f(2)e2＞f(0)所以f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）． 故选B．
解之得a= 13，b=- 12．
此时f（x）=x3-x2-x，f′（x）=3x2-2x-1=3（x+ 13）（x-1）． 当f′（x）＞0时，x＞1或x＜- 13， 当f′（x）＜0时，- 13＜x＜1．
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，- 13）和（1，+∞），减区间为（- 13，1）．
137
已知 f(x)=23x3-2x2+cx+4，g（x）=ex-e2-x+f（x），
（1）若f（x）在 x=1+2处取得极值，试求c的值和f（x）的单调增区间；
（2）如图所示，若函数y=f（x）的图象在[a，b]连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b），使得 f′(c)=f(b)-f(a)b-a，利用这条性质证明：函数y=g（x）图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4． 答：解：（1）f′（x）=2x2-4x+c，（1分）
依题意，有 f′(1+2)=0，即 c=-2(1+2)2+4(1+2)=-2．（2分） ∴ f(x)=23x3-2x2-2x+4，f′（x）=2x2-4x-2． 令f′（x）＞0，得 x＜1-2或 x＞1+2，（5分）
从而f（x）的单调增区间为： (-∞，1-2]及 [1+2，+∞)；（6分）
（2） f′(c)=f(b)-f(a)b-a；g（x）=ex-e2-x+f（x）═ ex-e2-x+23x3-2x2-2x+4，（7分）
g′（x）=ex+e2-x+2x2-4x-2（9分）= ex+e2ex+2(x-1)2-4≥2ex?e2ex+2?0-4=2e-4.（12分） 由（2）知，对于函数y=g（x）图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点C（c，g′（c）），使得g′（c）=KAB，又g′（x）≥2e-4，故有KAB=g′（c）≥2e-4，证毕．（14分）
138若函数f（x）=acosx+sinx在 x=π4处取得极值，则a= 1
．
答：解：由题意，f′（x）=-asinx+cosx
∵函数f（x）=acosx+sinx在 x=π4处取得极值 ∴f′（ π4）=0， ∴-acos π4+sin π4=0 ∴a=1
∴0＜ x＜π4时，f′（x）＞0， π2＞x＞π4时，f′（x）＜0 故a=1满足题意， 故答案为：1
139设x=1与x=2是f（x）=alnx+bx+x函数的两个极值点． （1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断x=1，x=2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并求相应极值． 答：解：（1） f′(x)=ax+2bx+1，
由已知得： {f′(1)=0f′(2)=0?{a+2b+1=012a+4b+1=0， ∴ {a=-23b=-16
（2）x变化时．f′（x），f（x）的变化情况如表：