切点为（ 94， 19964），所以 K切=1516，所以切线方程为15x-16y+16=0． 解答：解：（1）由题意可得：函数f（x）=x3+bx2+cx+d的导数为：f′（x）=3x2+2bx+c， 因为函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2， 所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2， 所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0， 解得：b=- 92，c=6． （2）设切点为（x0，y0），
由（1）可得：f′（x）=3x2-9x+6，
因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点， 所以f′（x0）=6，即x0=3或者x0=0，
当x0=3时，y0=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3 -92x2+6x+ 272． 当x0=0时，y0=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3 -92x2+6x+1． （3）由题意可得：f（x）=x3 -92x2+6x+1，并且P（0，1）， 设切点的坐标为（x1，y1），
所以 K切=y1-1x1= x13-92x12+6x1x1= x12-92x1+6…①． 又因为f′（x）=3x2-9x+6， 所以K切=3x12-9x1+6…②，
由①②可得： x1=94或者x1=0(舍去)， 所以切点为（ 94， 19964），所以 K切=1516， 所以切线方程为15x-16y+16=0．
所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0．
181已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与 x=-23时，都取得极值． （1）求a，b的值；
（2）若 f(-1)=32，求f（x）的单调区间和极值．
得x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值． 解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在x=1与 x=-23时，都取得极值， ∴f′（1）=0，f′（ -23）=0，即3×1+2a+b=0，3× (-23)2+2a（ -23）+b=0 解得 a=-12，b=-2
（2）由（1）知，f（x）=x3- 12x2-2x+c ∵ f(-1)=32，∴-1- 12+2+c= 32，解得c=1 ∴f（x）=x3- 12x2-2x+1
又∵f′（x）=3x2-x-2，令f′（x）＞0，即3x2-x-2＞0，解得，x＜- 23，或x＞1， 令f′（x）＜0，即3x2-x-2＜0．解得，- 23＜x＜1
∴函数的增区间为 (-∞，-23)，(1，+∞)；减区间为 (-23，1)， ∴函数在x=- 23时又极大值为 4927，在x=1时有极小值为- 12．
182已知函数 f(x)=13ax3-12x2-2ax+b(a，b∈R) （1）试求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=2处有极值，且f（x）图象与直线y=4x有三个公共点，求b的取值范围．
f'（x）＞0的解集，从而求出函数的单调递增区间；
（2）先根据极值求出a的值，令 g(x)=f(x)-4x=13x3-12x2-6x+b，然后利用导数求出函数的两个极值点，要使f（x）图象与y=4x有三个公共点，只需极大值大于0，极小值小于0，建立关系式，即可求出b的范围． 解答：解：（1）f'（x）=ax2-x-2a 当a=0时，f'（x）=-x＞0?x＜0
当a≠0时，△=1+8a2＞0，方程f'（x）=0有不相等的两根为 x1，x2=1±1+8a22a 1°当a＞0时， f′(x)＞0?x＜1-1+8a22a或 x＞1+1+8a22a 2°当a＜0时， f′(x)＞0?1+1+8a22a＜x＜1-1+8a22a 综上：当a=0时，f（x）在（-∞，0）上递增
当a＞0时，f（x）在 (-∞，1-1+8a22a)， (1+1+8a22a，+∞)上递增 当a＜0时，f（x）在 (1+1+8a22a，1-1+8a22a)上递增 （2）∵f（x）在x=2处有极值，∴f'（2）=0，∴a=1 令 g(x)=f(x)-4x=13x3-12x2-6x+b
∴g'（x）=x2-x-6=0?x=-2或3g'（x）＞0?x＜-2或x＞3g'（x）＜0?-2＜x＜3 ∴g（x）在x=-2处有极大值，在x=3处有极小值 要使f（x）图象与y=4x有三个公共点 则 {g(-2)＞0g(3)＜0?-223＜b＜272，即b的取值范围为 (-223，272)
即 {-6a+2b=03+3a+2b=0 解得 {a=-13b=-1.
（2）由（1）得 f(x)=x2ex-1-13x3-x2，
故 f(x)-g(x)=x2ex-1-13x3-x2-23x3+x2=x2(ex-1-x)． 令h（x）=ex-1-x，则h'（x）=ex-1-1．（9分） 令h'（x）=0，得x=1．（10分）h'（x）、h（x）随x的变化情况如表：
x h'（x） h（x）
（-∞，1） - ↘
1 0 0
（1，+∞） + ↗
由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（-∞，+∞）时，h（x）≥h（1），
也就是恒有h（x）≥0． 又x2≥0，
所以f（x）-g（x）≥0， 故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）． 6931） 之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，则x2-3x+lnx+b=0，设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，方程f（x）+2x=x2+b在[ 12，2]上恰有两个不相等的实数根，则g（x）最小值=g（1）=b-2＜0，g（ 12）＞0，g（2）＞0，解之即可； （3）设Φ（x）=lnx- 14（x2-1），研究函数Φ（x）在[2，+∞）上的单调性，可得Φ（x）≤Φ
2
（2）=ln2- 34＜0?lnx＜ 14（x-1），从而当x≥2时， 1lnx＞4x2-1=4(x+1)(x-1)=2(1x-1-1x+1)，从而得到结论．
解答：解：（1）f'（x）=1- 1x+a，由题意，得f'（1）=0?a=0…（2分） （2）由（1）知f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x2+b x-lnx+2x=x2+b x2-3x+lnx+b=0 设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0）
则g'（x）=2x-3+ 1x= 2x2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x …（4分） 当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表
x
（0， 1
12
2）
0
（ 1
1
2，1） -
0
2 （1，2）+
b-2+ln2
g'（x） + G（x） ↗
极大值 ↘ 极小值 ↗
当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b-2，g（ 12）=b- 54-ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x2+b在[ 12，2]上恰有两个不相等的实数根 由 {g(12)≥0g(1)＜0，g(2)≥0? {b-54-ln2≥0b-2＜0，b-2+ln2≥0 ? 54+ln2≤b≤2 （8分） （3）∵k-f（k）=lnk
∴ 1k-f(k)＞3n2-n-2n(n+1)
? 1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn＞3n2-n-2n(n+1)（n∈N，n≥2） 设Φ（x）=lnx- 14（x2-1）
则Φ'（x）= 1x- x2= 2-x22x=-(x+2)(x-2)2x
当x≥2时，Φ'（x）＜0?函数Φ（x）在[2，+∞）上是减函数， ∴Φ（x）≤Φ（2）=ln2- 34＜0?lnx＜ 14（x2-1） ∴当x≥2时， 1lnx＞4x2-1=4(x+1)(x-1)=2(1x-1-1x+1)
∴ 1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn＞2[（1- 13）+（ 12- 14）+（ 13- 15）+（ 14- 16）+…（ 1n-1-1n+1）]
=2（1+ 12- 1n-1n+1） = 3n2-n-2n(n+1)． ∴原不等式成立．（12分）
278已知函数f（x）=ln（ax+1）+x2-ax，a＞0， （Ⅰ）若 x=12是函数f（x）的一个极值点，求a； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在 [12，1]上恒成立，求m的取值范围． 答：解：（Ⅰ） f′(x)=2ax2+(2-a2)xax+1
因为 x=12是函数f（x）的一个极值点，所以 f′(12)=0，得a2-a-2=0． 因为a＞0，所以a=2．
（Ⅱ）因为f（x）的定义域是 (-1a，+∞)， f′(x)=2ax2+(2-a2)xax+1=2ax(x-a2-22a)ax+1．
（1）当 a＞2时，列表
f（x）在 (-1a，0)， (a2-22a，+∞)是增函数； f（x）在 (0，a2-22a)是减函数．
（2）当 a=2时，34．gif，f（x）在 (-22，+∞)是增函数．
（3）当 0＜a＜2时，列表f（x）在 (-1a，a2-22a)，（0，+∞）是增函数； f（x）在 (a2-22a，0)是减函数．
（Ⅲ）当 2＜a≤2时， a2-22a=a2-1a≤22-12=12， 由（Ⅱ）可知f（x）在 [12，1]上是增函数．
当 1≤a≤2时，也有f（x）在 [12，1]上是增函数，
所以对于对于任意的a∈[1，2]，f（x）的最大值为f（1）=ln（a+1）+1-a， 要使不等式f（x）≤m在 [12，1]上恒成立， 须ln（a+1）+1-a≤m，
记g（a）=ln（a+1）+1-a，因为 g′(a)=-aa+1＜0，
所以g（a）在[1，2]上递减，g（a）的最大值为g（1）=ln2，所以m≥ln2． 故m的取值范围为[ln2，+∞）．
279已知函数f（x）=-x3+ax2-4．
（1） 若f（x）在 x=43处取得极值，求实数a的值；
（2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3） 若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围． 法一：存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0即寻找f（x）max＞0是变量a的范围；解法二：存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，即即-x3+ax2-4＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即求a＞g（x）min，转化为求函数的最小值．
解答：
（1）f'（x）=-3x2+2ax，由题意得 f′(43)=0，解得a=2，经检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=-x3+2x2-4，f'（x）=-3x2+4x， 令f'（x）=0，则x1=0， x2=43（舍去）．f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
-1
（-1，
0
0） - ↘
0 -4
（0，
1
1） + ↗
-3
f'（x） f（x） -1
∴f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增， ∴f（x）极小值=f（0）=-4，如图构造f（x）在[-1，1]上的图象． 又关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根， 则-4＜m≤-3，即m的取值范围是（-4，-3]．
（3）解法一：因存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立， 故只需要f（x）的最大值f（x）max＞0即可，
∵f（x）=-x3+ax2-4，∴ f′(x)=-3x2+2ax=-3x(x-23a)．
①若a≤0，则当x＞0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减． ∵f（0）=-4＜0，∴当x＞0时，f（x）＜-4＜0， ∴当a≤0时，不存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立． ②当a＞0时f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：
x f'（x） f（x）
(0，23a) 23a + ↗
0
(23a，+
∞) -
4a327-4 ↘
∴当x∈（0，+∞）时， f(x)max=f(23a)=4a327-4，由 3a327-4＞0得a＞3． 综上得a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
解法二：根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x3+ax2-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式 a＞x+4x2在（0，+∞）上有解即可． 令 g(x)=x+4x2，只需要a＞g（x）min
而 g(x)=x+4x2=x2+x2+4x2≥3x2?x2?4x23=3，当且仅当 x2=4x2，即x=2时“=”成立． 故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
280已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx．
（I ）若函数y=f（x）在处取得极值，求满足条件的a的值；
（II）当a ＞-12时，f（x）在（1，2）上单调递减，求a的取值范围；
（III）是否存在正实数a，使得函数y=f（x）在 (1e，e)内有且只有两个零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 答：解：（I） f′(x)=2ax+1-2a-1x= (2ax+1)(x-1)x 有已知得 f′(2)=0即(4a+1)(2-1)2=0 ∴ a=-14经检验a=-14符合题意 （II）f（x）的定义域为（0，+∞）
当a≥0时，由1＜x＜2知f′（x）＞0∴f（x）在（1，2）递增，不符合题意 当 -12＜a＜0时，∵ -12＜a＜0∴-12a＞1又∵x＞令 f′(x)＜0得1＜x＜-12a ∵f（x）在（1，2）上递减∴ -12a≥2∴ -14≤a＜0 总之 a∈[-14，0) （III）令f′（x）=0
∵a＞0解得 x=1或x=-12a(舍)
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
要使y=f（x）在（ 1e，e）内有且仅有两个零点，只需 {f(1e)＞0f(x)min＜0f(e)＞0即 {a(1e)2+(1-2a)1e-ln1e＞0a+1-2a-ln1＜0ae2+(1-2a)e-lne＞0∴ {a＜e+e22e-1a＞1a＞1-ee2-2e∵ e+e22e-1-1=e(e-1)+12e-1＞0∴ e+e22e-1＞1 ∵ 1-ee2-2e＜0