答：
（1）解：∵f（x）=x3-ax2，∴f′（x）=3x2-2ax．
∵函数f（x）在区间 (0，23)内是减函数， ∴f′（x）=3x2-2ax≤0在 (0，23)上恒成立． 即 a≥3x2在 (0，23)上恒成立， ∵ 3x2＜32×23=1，∴a≥1． 故实数a的取值范围为[1，+∞）；
（2）解：∵ f′(x)=3x(x-23a)， 令f′（x）=0得 x=0或23a．
①若a≤0，则当1≤x≤2时，f′（x）＞0， 所以f（x）在区间[1，2]上是增函数， 所以h（a）=f（1）=1-a．
②若 0＜a＜32，即 0＜23a＜1， 则当1≤x≤2时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数， 所以h（a）=f（1）=1-a．
③若 32≤a＜3，即 1≤23a＜2， 则当 1＜x＜23a时，f′（x）＜0； 当 23a＜x＜2时，f′（x）＞0．
所以f（x）在区间 [1，23a]上是减函数， 在区间 [23a，2]上是增函数． 所以 h(a)=f(23a)=-427a3
④若a≥3，即 23a≥2，则当1＜x＜2时，
f′（x）＜0，所以f（x）在区间[1，2]上是减函数． 所以h（a）=f（2）=8-4a．
综上所述，函数f（x）在区间[1，2]的最小值 h(a)={1-a-427a38-4a，a≥3；
（3）解：由题意 h(a)=m(a+12)有两个不相等的实数解， 即（2）中函数h（a）的图象与直线 y=m(a+12)有两个 不同的交点．
而直线 y=m(a+12)恒过定点 (-12，0)， 由如图知实数m的取值范围是（-4，-1）．
156已知函数f（x）=alnx+2x+3（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若a=1，设g（x）=f（x）+kx，且不等式g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）在（I）的条件下，将函数f（x）的图象关于y轴对称得到函数φ（x）的图象，再将函数φ（x）的图象向右平移3个单位向下平移4个单位得到函数w（x）的图象，试确定函数w（x）的单调性并根据单调性证明ln[2.3.4…（n+1））]2≤n（n+1）（n∈N，n＞l）． 方程即可求出满足条件的实数a的值；
（Ⅱ）若a=1，根据g（x）=f（x）+kx，我们可以求出函数g（x）的解析式，又由不等式g′（x）≥0在X∈（0，2）上恒成立，我们可以将问题转化为一个函数恒成立问题，进而求出实数k的取值范围；
（Ⅲ）根据（I）中a值，我们求出函数f（x）的解析式，进而根据将函数f（x）的图象关于y轴对称得到函数φ（x）的图象，再将函数φ（x）的图象向右平移3个单位向下平移4个单位得到函数w（x）的图象，求出函数w（x）的解析式，进而利用导数法证明出函数w（x）的单调性后，即可得到ln[2.3.4…（n+1））]2≤n（n+1）． 解答：解：（I）∵函数的定义域为（0，+∞），由f（x）=alnx+2x+3（a∈R） ∴f′（x）= ax+2
又∵函数f（x）在x=2处取得极值， ∴f′（2）= a2+2=0 解得a=-4
（II）g（x）=f（x）+kx=lnx+2x+3+kx=lnx+（k+2）x+3 ∴g′（x）= 1x+k+2≥0在X∈（0，2）上恒成立， 即k≥-2- 1x 又0＜x＜2， ∴-2- 1x＜- 52 ∴k≥- 52
即满足条件的实数k的取值范围为[- 52，+∞） （III）∵f（x）=-4lnx+2x+3 ∴φ（x）=-4ln（-x）-2x+3 ∴w（x）=-4ln（3-x）-2x+5 则w′（x）= 4x-2
∵当x∈（0， 12）时，w′（x）＞0，当x∈（ 12，+∞）时，w′（x）＜0，
∴w（x）=-4ln（3-x）-2x+5在区间（0， 12）上单调递增，在区间（ 12，+∞）上单调递减
∴n∈N，n＞l时，-4ln（3-n）-2n+5≤w（2）=1 ∴ln（n+1）≤n
即ln2≤1，ln3≤2，…，ln（n+1）≤n ∴ln2+ln3+…+ln（n+1）≤1+2+…+n ∴ln[2.3.4…（n+1）]≤ n(n+1)2 ∴2ln[2.3.4…（n+1）]≤n（n+1） 即ln[2.3.4…（n+1））]2≤n（n+1）（n∈N，n＞l）．
157已知函数f（x）=ax2+2ln（x+1），其中a为实数． （1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围． a=-12
（2）解法一由f（x）在[2，3]上是增函数得 f′(x)=2ax+2x+1＞0在[2，3]上恒成立，利用分离参数，设 y=-(x+12)2+14x∈[2，3]求函数的最大值即可．
解法二依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立， 2ax+2x+1＞0即 ax2+ax+1x+1＞0恒成立即ax2+ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立转化为二次函数的问题． 解答：解：（1）由已知得f（x）的定义域为（-1，+∞） 又 f^(x)=2ax+2x+1
∴由题意得f′（1）=2a+1=0 ∴ a=-12
（2）解法一：依题意得f′（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴ 2ax+2x+1＞0 ∴ 2ax＞-21+x，a＞1-x2-x=1-(x+12)2+14
∵x∈[2，3]，∴ -(x+12)2+14的最小值为 -(3+12)2+14=-12 ∴ 1-(x+12)2+14的最大值为 -112
又因 a=-112时符合题意∴ a≥-112为所求
解法二：依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴ 2ax+2x+1＞0即 ax2+ax+1x+1＞0 ∵1+x＞0，
∴ax2+ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立 令g（x）=ax2+ax+1
（1）当a=0时，1＞0恒成立
（2）当a＜0时，抛物线g（x）开口向下，可得g（x）min=g（3）＞0 即9a+3a+1≥0，∴ 0＞a＞-112（
（3）当a＞0时，抛物线g（x）开口向上，可得g（x）min=g（2）＞0 即4a+2a+1＞0， ∴ a＞-16，即a＞0 又因 a=-112时符合题意 综上可得 a≥-112为所求
158已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值． （1）求实数a的取值范围； （2）求函数f（x）的值域；
（3）函数g（x）=x3-x-2，证明：?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．
，且在两侧导函数正负相异求解．
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为 f(-1a)=-1+ln(-1a)，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域． （3）证明：由：?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）f（x1）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可． 解答：解：（1）由f（x）=ax+lnx求导可得： f′(x)=a+1x．（2分） 令 f′(x)=a+1x=0，可得 a=-1x ∵x∈（1，e），∴ -1x∈(-1，-1e)∴ a∈(-1，-1e)（3分） 又因为x∈（1，e）
所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为 (-1，-1e)．（4分） （2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为 f(-1a)=-1+ln(-1a)（6分） 又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得 a≤11-e又∵ -1＜11-e＜-1e ∴当 -1＜a≤11-e时，
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（ -1a）]（8分） 当 11-e＜a＜-1e时，
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（ -1a）]．（10分）
（3）证明：由g（x）=x3-x-2求导可得g'（x）=3x2-1（11分） 令g'（x）=3x2-1=0，解得 x=±33
2
令g'（x）=3x-1＞0，解得 x＜-33或 x＞33 又∵ x∈(1，e)?(33，+∞)
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（12分） ∵g（1）=-2，g（e）=e3-e-2
∴g（x）在x∈（1，e）的值域为（-2，e3-e-2）（14分） ∵ e3-e-2＞-1+ln(-1a)， -2＜ae+1，-2＜a
∴ (ae+1，-1+ln(-1a)]?(-2，e3-e-2)， (a，-1+ln(-1a)]?(-2，e3-e-2) ∴?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．（16分）
159设 f(x)=13x3-(1+a)x2+4ax+24a，其中a∈R． （1）若f（x）有极值，求a的取值范围；
（2）若当x≥0，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围． 答：解：（1）由题意可知：f'（x）=x2-2（1+a）x+4a，且f（x）有极值， 则f'（x）=0有两个不同的实数根，故△=4（1+a）2-16a=4（1-a）2＞0， 解得：a≠1，即a∈（-∞，1）∪（1，+∞）（4分）
（2）由于x≥0，f（x）＞0恒成立，则f（0）=24a＞0，即a＞0（6分） 由于f'（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），则
1当0＜a＜12时，f（x）3在x=2a4处取得极大值、在x=25处取得极小值， 则当x≥0时， minf(x)=f(2)=28a-43＞0，解得： a＞121；（8分）
6当a=17时，f'（x）≥08，即f（x）9在[0，+∞）10上单调递增，且f（0）=24＞011， 则f（x）≥f（0）＞0恒成立；（10分）
12当a＞113时，f（x）14在x=215处取得极大值、在x=2a16处取得极小值， 则当x≥0时， minf(x)=f(2a)=-43a3+4a2+24a＞0，解得：-3＜a＜6 综上所述，a的取值范围是： 121＜a＜6（12分）
160已知函数f（x）=x3-ax3+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值 （1）求a，b
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围． 答：解：（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根， ∴ {-1+3=23a-1×3=b3，∴ {a=3b=-9
（2）f（x）=x3-3x2-9x+c，f′（x）=3x2-6x-9，当x变化时，有下表
x f’（x） f（x）
-1） -1 （-∞，+ ↗
0 Max
c+5
3 （-1，3）- ↘
0 Min c-27
+∞） （3，+ ↗
而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18 ∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
161已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5在x=-1与x= 32处有极值，求函数f（x）的单调区间． 出a、b的值，进而求出导数．f′（x）＜0，求出函数的单调区间； 解答：解：f′（x）=12x2+2ax+b，依题意有f′（-1）=0，f（ 32）=0， 即 {12-2a+b=027+3a+b=0得 {a=-3b=-18 所以f′（x）=12x2-6x-18， （1）f′（x）=12x2-6x-18＜0， ∴（-1， 32）是函数的减区间 （-∞，-1），（ 32，+∞）是函数的增区间．
162已知函数f（x）=x3+bx2+cx+2在x=1时有极值6． （Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象上是的切线与直线3x+y+1=0平行，求该切线方程． 答：（Ⅰ）解：f′（x）=3x2+2bx+c， 依题意有f（1）=6，f′（1）=0． 可得 {1+b+c+2=63+2b+c=0 可得b=-6，c=9．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=3x2-12x+9， 依题意可知，切线的斜率为-3． 令f′（x）=-3， 可得x=2， 即f′（2）=-3． 又f（2）=4，
所以切线过点（2，4）．
从而切线方程为3x+y-10=0．
163已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a）．
（1）若函数f（x）在区间 (0，23)内是减函数，求实数a的取值范围； （2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）； （3）对（2）中的h（a），若关于a的方程 h(a)=m(a+12)有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．