（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=3x2-12x+9， 依题意可知，切线的斜率为-3． 令f′（x）=-3， 可得x=2， 即f′（2）=-3． 又f（2）=4，
所以切线过点（2，4）．
从而切线方程为3x+y-10=0．
173已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a）．
（1）若函数f（x）在区间 (0，23)内是减函数，求实数a的取值范围； （2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）； （3）对（2）中的h（a），若关于a的方程 h(a)=m(a+12)有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．
答：
（1）解：∵f（x）=x3-ax2，∴f′（x）=3x2-2ax．
∵函数f（x）在区间 (0，23)内是减函数， ∴f′（x）=3x2-2ax≤0在 (0，23)上恒成立． 即 a≥3x2在 (0，23)上恒成立， ∵ 3x2＜32×23=1，∴a≥1． 故实数a的取值范围为[1，+∞）；
（2）解：∵ f′(x)=3x(x-23a)， 令f′（x）=0得 x=0或23a．
①若a≤0，则当1≤x≤2时，f′（x）＞0， 所以f（x）在区间[1，2]上是增函数， 所以h（a）=f（1）=1-a．
②若 0＜a＜32，即 0＜23a＜1， 则当1≤x≤2时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数， 所以h（a）=f（1）=1-a．
③若 32≤a＜3，即 1≤23a＜2， 则当 1＜x＜23a时，f′（x）＜0； 当 23a＜x＜2时，f′（x）＞0．
所以f（x）在区间 [1，23a]上是减函数， 在区间 [23a，2]上是增函数． 所以 h(a)=f(23a)=-427a3
④若a≥3，即 23a≥2，则当1＜x＜2时，
f′（x）＜0，所以f（x）在区间[1，2]上是减函数． 所以h（a）=f（2）=8-4a．
综上所述，函数f（x）在区间[1，2]的最小值 h(a)={1-a-427a38-4a，a≥3；
（3）解：由题意 h(a)=m(a+12)有两个不相等的实数解， 即（2）中函数h（a）的图象与直线 y=m(a+12)有两个 不同的交点．
而直线 y=m(a+12)恒过定点 (-12，0)， 由如图知实数m的取值范围是（-4，-1）．
174已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值． （1）求实数a的取值范围； （2）求函数f（x）的值域；
（3）函数g（x）=x3-x-2，证明：?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．
，且在两侧导函数正负相异求解．
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为 f(-1a)=-1+ln(-1a)，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域． （3）证明：由：?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）f（x1）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可． 解答：解：（1）由f（x）=ax+lnx求导可得： f′(x)=a+1x．（2分） 令 f′(x)=a+1x=0，可得 a=-1x ∵x∈（1，e），∴ -1x∈(-1，-1e)∴ a∈(-1，-1e)（3分） 又因为x∈（1，e）
所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为 (-1，-1e)．（4分） （2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为 f(-1a)=-1+ln(-1a)（6分） 又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得 a≤11-e又∵ -1＜11-e＜-1e ∴当 -1＜a≤11-e时，
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（ -1a）]（8分） 当 11-e＜a＜-1e时，
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（ -1a）]．（10分）
（3）证明：由g（x）=x3-x-2求导可得g'（x）=3x2-1（11分） 令g'（x）=3x2-1=0，解得 x=±33
令g'（x）=3x2-1＞0，解得 x＜-33或 x＞33 又∵ x∈(1，e)?(33，+∞)
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（12分） ∵g（1）=-2，g（e）=e3-e-2
∴g（x）在x∈（1，e）的值域为（-2，e3-e-2）（14分） ∵ e3-e-2＞-1+ln(-1a)， -2＜ae+1，-2＜a
∴ (ae+1，-1+ln(-1a)]?(-2，e3-e-2)， (a，-1+ln(-1a)]?(-2，e3-e-2) ∴?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．（16分）
175已知函数f（x）=x3-ax3+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值 （1）求a，b
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围． 答：解：（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根， ∴ {-1+3=23a-1×3=b3，∴ {a=3b=-9
（2）f（x）=x3-3x2-9x+c，f′（x）=3x2-6x-9，当x变化时，有下表
x f’（x） f（x）
-1） -1 （-∞，+ ↗
0 Max
c+5
3 （-1，3）- ↘
0 Min c-27
+∞） （3，+ ↗
而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18 ∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
176已知函数f（x）=4x-k（x2+2clnx）（c＞1，k∈R）有一个极值点是1． （I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）记f（x）的极大值为M，极小值为N，比较 M-12N与2c+1c+1的大小． 答：解：（I）由已知中k≠0 ∵f（x）=4x-k（x2+2clnx）（c＞1，k∈R） ∴f′（x）=4-k（2x+ 2cx）= -2kx2-2ck+4xx ∵函数f（x）=有一个极值点是1． ∴f′（1）=0 ∴c= 2k-1
令f′（x）=0，即-2kx2-2ck+4x=0 ∵此方程的一个根为1， ∴另一个根为c ∵c＞1，即0＜k＜1
∴函数f（x）在（1，c）上为增函数，在（0，1），（c，+∞）上为减函数 （II）由（I）知f（x）在x=c时取极大值，在x=1时取极小值 ∴M=f（c）=4c-k（c2+2clnc），N=f（1）=4-k，其中 2k-1=c ∴ M-12N=4c-4clncc+1-2+1c+1 ∴ M-12N-2c+1c+1=2c2-2-4clncc+1
令g（c）=c2-1-2clnc，则g′（c）=2c-（2lnc+2）=2（c-1-lnc） 再令h（c）=c-1-lnc，则h′（c）=1- 1c= c-1c
∵c＞1，∴h′（c）＞0
∴函数h（c）在（1，+∞）上为增函数 ∴h（c）＞h（1）=0 ∴g′（c）＞0，
∴函数g（c）在（1，+∞）上为增函数 ∴g（c）＞g（1）=0 ∴ M-12N-2c+1c+1＞0 ∴ M-12N＞2c+1c+1
177已知函数f（x）=2x3+ax2+bx+3在x=-1和x=2处取得极值． （1）求f（x）的表达式和极值．
（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围． 答：解：（1）∵f′（x）=6x2+2ax+b
∴ {f′(-1)=0f′(2)=0即 {6-2a+b=024+4a+b=0 解得
{a=-3b=-12
∴f（x）=2x3-3x2-12x+3 f′（x）=6x2-6x-12
f′（x）＞0解得x＜-1或x＞2 由f′（x）＜0解得-1＜x＜2
故函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）递增，函数在（-1，2）递减 所以当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17
（2）由（1）知，若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，需 m+4≤-1或 {m≥-1m+4≤2或m≥2 所以m≤-5或m≥2
178已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值 -25． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论． 答：解：（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0； 所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c 由题意得 {f(1)=a+c=-25f′(1)=3a+c=0， 解得 a=15，c=-35
所以f（x）= 15x3-35x． （II）不存在．
证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）?f'（x2）=-1 所以（x12-1）（x22-1）=-4
因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0] 因此（x12-1）（x22-1）≠-4 所以不存在．
179已知函数 f(x)=12x2+lnx
（1）若x=e为y=f（x）-2ex-ax的极值点，求实数a的值 （2）若x0是函数f（x）的一个零点，且x0∈（b，b+1），其中b∈N，则求b的值 （3）若当x≥1时 f(x)≥c(x-1)+12，求c的取值范围． 析式，又由进而求出其导函数的解析式，又由x=e为y=f（x）-2ex-ax的极值点，故y'x=e=0，由此构造关于a的方程，解方程即可求出实数a的值
（2）根据函数单调性的性质，我们易得函数 f(x)=12x2+lnx为增函数，若x0是函数f（x）的一个零点，利用二分法我们易得在区间（ 1e，1）上存在函数唯一的零点，则（ 1e，1）?（b，b+1），又由b∈N，即求出b的值
（3）构造函数 g(x)=f(x)-c(x-1)-12，则问题可转化为当x≥1时函数恒成立问题，分析函数的单调性，求出函数的最值，即可求出c的取值范围． 解答：解：（1） y′=x+1x-2e-a…（2分）
∵y在x=e处取得极值，∴y'x=e=0即 e+1e-2e-a=0解得 a=1e-e 经检验 a=1e-e符合题意，∴ a=1e-e…（4分） （2）∵ f′(x)=x+1x，（x＞0），∴f'（x）＞0 ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增…（5分） 又∴ f(1e)=12e2+ln1e=12e2-1＜0 且 f(1)=12+ln1=12＞0
由二分法可得 x0∈(1e，1)…（7分） 又∵ (1e，1)?(0，1) ∴b=0…（8分）
（3）设 g(x)=f(x)-c(x-1)-12， g′(x)=x+1x-c，∵x≥1，∴ x+1x≥2 （ⅰ）若c≤2，当x≥1时， g′(x)=x+1x-c≥0恒成立 故g（x）在（0，+∞）上为增函数， 所以，x≥1时，g（x）≥g（1），即 f(x)≥c(x-1)+12．…（9分） 若c＞2，方程g'（x）=0有2根
x1=c-c2-42或 x2=c+c2-42且x1＜1＜x2 此时若x∈（1，x2），则g'（x）＜0， 故g（x）在该区间为减函数
所以x∈（1，x2）时，g（x）＜g（1）=0即 f(x)＜c(x-1)+12 与题设 f(x)≥c(x-1)+12矛盾
综上，满足条件的c的取值范围是（-∞，2]…（12分）
180已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点． （1）求b和c
（2）求函数y=f（x）的解析式；
（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程． 决问题．
（2）设切点为（x0，y0），根据题意可得f′（x0）=6，即x0=3或者x0=0，即可解出切点的坐标求出函数y=f（x）的解析式．
（3）由题意可得：设切点的坐标为（x1，y1），
所以 K切=y1-1x1= x13-92x12+6x1x1= x12-92x1+6…①．所以K切=3x12-9x1+6…②，所以