答：
（1）解：∵f（x）=x3-ax2，∴f′（x）=3x2-2ax．
∵函数f（x）在区间 (0，23)内是减函数， ∴f′（x）=3x2-2ax≤0在 (0，23)上恒成立． 即 a≥3x2在 (0，23)上恒成立， ∵ 3x2＜32×23=1，∴a≥1． 故实数a的取值范围为[1，+∞）；
（2）解：∵ f′(x)=3x(x-23a)， 令f′（x）=0得 x=0或23a．
①若a≤0，则当1≤x≤2时，f′（x）＞0， 所以f（x）在区间[1，2]上是增函数， 所以h（a）=f（1）=1-a．
②若 0＜a＜32，即 0＜23a＜1， 则当1≤x≤2时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数， 所以h（a）=f（1）=1-a．
③若 32≤a＜3，即 1≤23a＜2， 则当 1＜x＜23a时，f′（x）＜0； 当 23a＜x＜2时，f′（x）＞0．
所以f（x）在区间 [1，23a]上是减函数， 在区间 [23a，2]上是增函数． 所以 h(a)=f(23a)=-427a3
④若a≥3，即 23a≥2，则当1＜x＜2时，
f′（x）＜0，所以f（x）在区间[1，2]上是减函数． 所以h（a）=f（2）=8-4a．
综上所述，函数f（x）在区间[1，2]的最小值 h(a)={1-a-427a38-4a，a≥3；
（3）解：由题意 h(a)=m(a+12)有两个不相等的实数解， 即（2）中函数h（a）的图象与直线 y=m(a+12)有两个 不同的交点．
而直线 y=m(a+12)恒过定点 (-12，0)， 由如图知实数m的取值范围是（-4，-1）．
164已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值． （1）求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）函数g（x）=x3-x-2，证明：?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．
，且在两侧导函数正负相异求解．
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为 f(-1a)=-1+ln(-1a)，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域． （3）证明：由：?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）f（x1）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可． 解答：解：（1）由f（x）=ax+lnx求导可得： f′(x)=a+1x．（2分） 令 f′(x)=a+1x=0，可得 a=-1x ∵x∈（1，e），∴ -1x∈(-1，-1e)∴ a∈(-1，-1e)（3分） 又因为x∈（1，e）
所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为 (-1，-1e)．（4分） （2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为 f(-1a)=-1+ln(-1a)（6分） 又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得 a≤11-e又∵ -1＜11-e＜-1e ∴当 -1＜a≤11-e时，
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（ -1a）]（8分） 当 11-e＜a＜-1e时，
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（ -1a）]．（10分）
（3）证明：由g（x）=x3-x-2求导可得g'（x）=3x2-1（11分） 令g'（x）=3x2-1=0，解得 x=±33
令g'（x）=3x2-1＞0，解得 x＜-33或 x＞33 又∵ x∈(1，e)?(33，+∞)
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（12分） ∵g（1）=-2，g（e）=e3-e-2
∴g（x）在x∈（1，e）的值域为（-2，e3-e-2）（14分） ∵ e3-e-2＞-1+ln(-1a)， -2＜ae+1，-2＜a
∴ (ae+1，-1+ln(-1a)]?(-2，e3-e-2)， (a，-1+ln(-1a)]?(-2，e3-e-2) ∴?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．（16分）
165已知函数f（x）=x3-ax3+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值 （1）求a，b
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围． 答：解：（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根， ∴ {-1+3=23a-1×3=b3，∴ {a=3b=-9
（2）f（x）=x3-3x2-9x+c，f′（x）=3x2-6x-9，当x变化时，有下表
x f’（x） f（x）
-1） -1 （-∞，+ ↗
0 Max
c+5
3 （-1，3）- ↘
0 Min c-27
+∞） （3，+ ↗
而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18 ∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
166已知函数f（x）=4x-k（x2+2clnx）（c＞1，k∈R）有一个极值点是1． （I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）记f（x）的极大值为M，极小值为N，比较 M-12N与2c+1c+1的大小． 答：解：（I）由已知中k≠0 ∵f（x）=4x-k（x2+2clnx）（c＞1，k∈R） ∴f′（x）=4-k（2x+ 2cx）= -2kx2-2ck+4xx ∵函数f（x）=有一个极值点是1． ∴f′（1）=0 ∴c= 2k-1
令f′（x）=0，即-2kx2-2ck+4x=0 ∵此方程的一个根为1， ∴另一个根为c ∵c＞1，即0＜k＜1
∴函数f（x）在（1，c）上为增函数，在（0，1），（c，+∞）上为减函数 （II）由（I）知f（x）在x=c时取极大值，在x=1时取极小值 ∴M=f（c）=4c-k（c2+2clnc），N=f（1）=4-k，其中 2k-1=c ∴ M-12N=4c-4clncc+1-2+1c+1 ∴ M-12N-2c+1c+1=2c2-2-4clncc+1
令g（c）=c2-1-2clnc，则g′（c）=2c-（2lnc+2）=2（c-1-lnc） 再令h（c）=c-1-lnc，则h′（c）=1- 1c= c-1c ∵c＞1，∴h′（c）＞0
∴函数h（c）在（1，+∞）上为增函数 ∴h（c）＞h（1）=0 ∴g′（c）＞0，
∴函数g（c）在（1，+∞）上为增函数 ∴g（c）＞g（1）=0 ∴ M-12N-2c+1c+1＞0 ∴ M-12N＞2c+1c+1
167已知函数f（x）=ax2+bx+c+4lnx的极值点为1和2． （Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）试讨论方程f（x）=3x2根的个数；
（Ⅲ）设h（x）= 14f（x）- 14x2+ 32x，斜率为k的直线与曲线y=h（x）交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，试比较 1k与 x1+x22的大小，并给予证明．
答：解：（Ⅰ） f′(x)=2ax+b+4x=2ax2+bx+4x，x∈（0，+∞）， 由y=f（x）的极值点为1和2， ∴2ax2+bx+4=0的根为1和2，
∴ {2a+b+4=08a+2b+4=0.解得 {a=1b=-6.
（Ⅱ）由f（x）=3x2得x2-6x+c+4lnx=3x2，c=2x2+6x-4lnx，设g（x）=2x2+6x-4lnx，x∈（0，+∞）. g′(x)=4x+6-4x=2(2x2+3x-2)x=2(2x-1)(x+2)x， 当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：
x g'（x） g（x）
(0，12) -
(12，+∞) +
单调递减 单调递增
由此得，函数y=g（x）的单调减区间为 (0，12)，单调增区间为 (12，+∞)． ∴ g(x)min=2×14+6×12-4ln12=72+4ln2， 且当x正向趋近于0时，g（x）趋近于+∞， 当x趋近于+∞时，g（x）趋近于+∞． ∴当 c=72+4ln2时，方程只有一解； 当 c＞72+4ln2时，方程有两解； 当 c＜72+4ln2时，方程无解． （Ⅲ） 1k＜x1+x22．
证明：由（Ⅰ）得f（x）=x2-6x+c+4lnx，
∴ h(x)=lnx+c4，k=lnx2-lnx1x2-x1，x2＞x1＞0． 要证 1k＜x1+x22，即证 x2-x1lnx2-lnx1＜x1+x22， 只需证 x2x1-1lnx2x1＜x2x1+12，（因为 x2x1＞1，lnx2x1＞0）
即证 lnx2x1＞2(x2x1-1)x2x1+1．只需证 lnx2x1-2(x2x1-1)x2x1+1＞0．（*） 设 φ(x)=lnx-2(x-1)x+1（x＞1），∵ φ′(x)=1x-4(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2＞0， ∴φ（x）在（1，+∞）单调递增，φ（x）＞φ（1）=0， ∴不等式（*）成立． ∴ 1k＜x1+x22．
168求函数 f(x)={-5x3+5x2，x＜1lnx，x≥1在区间[- 15，3]上的极大值和最大值．
解答：
解：∵函数y=-5x3+5x2
∴由y′=-15x2+10x=0 ∴x=0，x= 23，
在（0， 23）上，导函数大于0，函数递增， 在（ 23，1）上，导函数小于0，函数递减， ∴在x= 23处，函数取到极大值y= 2027，
又f（- 15）= 625；f（ 23）= 2027； f（3）=ln3； 其中f（3）最大．
所以f（x）在区间[- 15，3]上的最大值 ln3．
169若函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）且f（1）=4，f′（1）=1，∫01f（x）dx= 196，求函数f（x）的解析式．
解答：解：由f（1）=4得，a+b+c=4 ① 又∵f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=2a+b=1，② ∵∫01f（x）dx=∫01（ax2+bx+c）dx= 13a+ 12b+c ∴ 13a+ 12b+c= 196 ③
联立①②③式解得，a=-1，b=3，c=2 ∴f（x）=-x2+3x+2．
170若函数f（x）=acosx+sinx在 x=π4处取得极值，则a= 1
．
答：解：由题意，f′（x）=-asinx+cosx
∵函数f（x）=acosx+sinx在 x=π4处取得极值 ∴f′（ π4）=0， ∴-acos π4+sin π4=0 ∴a=1
∴0＜ x＜π4时，f′（x）＞0， π2＞x＞π4时，f′（x）＜0 故a=1满足题意， 故答案为：1
171已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5在x=-1与x= 32处有极值，求函数f（x）的单调区间． 出a、b的值，进而求出导数．f′（x）＜0，求出函数的单调区间； 解答：解：f′（x）=12x2+2ax+b，依题意有f′（-1）=0，f（ 32）=0， 即 {12-2a+b=027+3a+b=0得 {a=-3b=-18 所以f′（x）=12x2-6x-18， （1）f′（x）=12x2-6x-18＜0， ∴（-1， 32）是函数的减区间 （-∞，-1），（ 32，+∞）是函数的增区间．
172已知函数f（x）=x3+bx2+cx+2在x=1时有极值6． （Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象上是的切线与直线3x+y+1=0平行，求该切线方程． 答：（Ⅰ）解：f′（x）=3x2+2bx+c， 依题意有f（1）=6，f′（1）=0． 可得 {1+b+c+2=63+2b+c=0 可得b=-6，c=9．