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∠NEC=120°，∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，∴△BMD∽△CNE；（2）过点M作MH⊥BC，∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，∴MH=MF，设BD=x，∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B，∴DM=BD=x，∴MH=MF=DF-MD=4-x，在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=MH=
MD4-xx=32，解得：x=16?83，∴当BD=16?83时，以M为圆心，以MF为半径的圆
1212与BC相切；（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，∵AB=AC，∴BK=BC=×8=4。∵∠B=30°，
11163∴AK=BK?tan∠B=4×3=43，∴S△ABC=BC?AK=×8×43=，由（2）得：MD=BD=x，∴MH=MD
332233?sin∠MDH=
32x，∴S△BDM=
12?x?
32x=
342x.∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴
EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN=(BDCE)=
2x22，∴S△CEN=34(4?x)，∴y=S
2(4?x)△ABC
-S△CEN-S△BDM=
1633?342x?342(4?x)= ?32x?23x?2233=?32(x?2)?2833（0≤x≤4），当
x=2时，y有最大值，最大值为833．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用．
(2012重庆，12，4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______
解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。 答案：9：1
点评：本题考查相似三角形的基本性质。
（2012浙江省衢州，15，4分）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)
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【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可. 【答案】12a
【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，∠DAB=∠CAE，请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE，并说明理由.
【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.
【答案】?D??B或?AED??C -----------------------------------------------------2分
理
由
：
两
角
对
应
相
等
，
两
三
角
形
相
似
------------------------------------------------------6分
【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.
（2012山东泰安，17，3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB?与△B?DG的面积之比为（ ）
A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9
【解析】设CF=x，则BF=3-x，由折叠得B?F=BF=3-x,在Rt△FCB?中，由由勾股定理得CF2+CB?2=FB?2，x+1=(3-x),解得x=【答案】D.
【点评】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
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2
2
2
43,由已知可证Rt△FCB?∽Rt△B?DG，AR所以S△FCB?与S△B?DG的面积为（
43：1）=
2
169.
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（2012年四川省德阳市，第11题、3分．）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP//BE（点P、E在直线AB的同
14侧），如果BD?AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为
AA.
1415 B.
3534
BGFEPCC. D.
D【解析】连接FP, 延长AP交BC的延长线于H, 过点A、P分别作
AM?BC,PN?BC,垂足M、N.∵四边形BDEF是平行四边形，EF?AD,又AP//BE，∴E、F、P共
14141334线，即PF?AB,四边形APEB是平行四边形，∴EP=AB，又BD?PNAMPFAB34AB∴ EF=DB=AB=PF,∴PF=AB,
∵△ABH~△PFH,∴??,∴
S△PBCS△ABC?PNAM?34.
【答案】D.
【点评】此题应用了平行四边形，相似三角形和三角形面积的相关知识，能够合理作出辅助线是解决本题的关键，
（2012山东省荷泽市，18,10）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，它的三个顶点为中的3个格点并且与△ABC相似；（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）
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【解析】在网格中借助勾股定理求△ABC三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断△ABC的形状. 【答案】解：
（1）根据勾股定理，得AB?25，AC?5，BC=5 ； 显然有AB2?AC2?BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形 （1） △ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得AB?25，AC?5，BC=5
DE?42，DF?22，EF?210．
B ?BCEF?522D P5 F C
A
P4
P1
P2
P3 E
?ABDE?ACDF，
∴△ABC∽△DEF． （3）如图：△P2P4 P5．
【点评】在网格中计算线段的长，勾股定理是首先的计算方法，在网格中证明三角形相似，常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例.
（2012安徽，22，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长； 解：
（2）求证：DG平分∠EDF; 证：
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（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG. 证：
解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知DF?12b,DE?12c，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得BG?b?c2.（2）由（1）的
结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.
解（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点 ∴DE∥12AB,DF∥12AC，
又∵△BDG与四边形ACDG周长相等 即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ∴BG=AC+AG ∵BG=AB－AG ∴BG=
AB?AC2=
b?c22
b?c2（2）证明：BG=
b?c，FG=BG－BF=－
c2?b2
∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD 又∵DE∥AB ∴∠EDG=∠FGD ∠FDG=∠EDG ∴DG平分∠EDF
（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形, ∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形, ∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,
则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆, ∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG
点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.
（2012山东泰安，28，10分）如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。
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