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∴AFAQAC?AB 即AF2?t4?2
∴AF=4-2t 又DP‖AF ∴DPPQAF?AQ
即
t4?2t?2?2t
2?tt?45
3）①当1＜t≤
43时，如图1、图2.
∵FQ‖BC ∴AFAC?AQAB
即AF=4-2t，EF=4-3t 又DE‖AB
∴△FEG∽△FAQ得，EGAQ?FEFA
EG3t2?t?4?2(2?t)
EG=?32t?2
∴GD=t-(?32t?2)=
52t?2
QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2 S=924t?2t
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（ 12999数学网 www.12999.com
CCFEAGDE(F)DQP图1BAQ图2PB
4AFAQ?②当＜t＜2时，由△AFQ∽△ABC得，,AF=4-2x.
3ACAB∴
S△AQF??(2?t)212(4?2t)(2?t)
同理由△CEH∽△CBA可得EH=1?∴S=S?S正方形APDE?S△AQF?S =t? =-C212t，HD=
32t?2；△BPG∽△BAC,得PG=4-2t，DG=t-(4-2t)=3t-4
△DHG
122(2?t)?212(3t?4)(32t?2)
94t?10t?8
EFAQHD GPB图3
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及正方形的性质，利用分类讨论思想进行分析即可得出答案是解题关键．
（2012陕西18，6分）如图，在?ABCD中，?ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F． （1）求证：AB?AF；
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（2）当AB?3，BC?5时，求
AEAC的值．
AEEC【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由△AEF∽△CEB先求出【答案】解：（1）如图，在?ABCD中，AD//BC， ∴?2??3．
∵BF是?ABC的平分线， ∴?1??2． ∴?1??3． ∴AB?AF．
（2）??AEF??CEB，?2??3， ∴△AEF∽△CEB， ∴∴
AEECAEAC??AFBC38?35，再求
AEAC.
，
．
等角对等边、相
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、
似三角形的性质等.难度中等.
（2012陕西 25，12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 【解析】（1）连接AP并延长交AC于点P'，这是画图关键.
（2）利用等边三角形、正方形、30°锐角的直角三角形性质列方程求解.
（3）用两个正方形的边长的代数式表示出它们的面积和，再求最大值和最小值. 【答案】解：（1）如图①，正方形E'F'P'N'即为所求． （2）设正方形E'F'P'N'的边长为x． ∵△ABC为正三角形， ∴AE'=BF'=33x．
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∴x+233x=3+3．
∴x=9+3323+3，即x=33-3．
（3）如图②，连接NE，EP，PN，则?NEP=90?．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n?m?n?， 它们的面积和为S，则NE=2m，PE=2n． ∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2?m2+n2?． ∴S?m?n=2212PN．
2延长PH交ND于点G，则PG?ND．
在Rt?PGN中，PN2=PG2+GN2=?m+n?+?m-n?．
333322∵m+m+n+1n=3+3，即m+n=3．
∴S=91?3??m?n?2????m?n?2
?222?∴ⅰ）当?m-n?=0时，即m=n时，S最小．
∴S最小=12?3=22292．
ⅱ）当?m-n?最大时，S最大． 即当m最大且n最小时，S最大． ∵m+n=3，由（2）知，m最大=33-3． ∴n最小=3-m最大=3-33-3=6-33．
211∴S最大=?9+?m最大-n最小??=?22????9+33-3-6+33????2?=99-543． ??【点评】本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角关系等重要知识点.本题三小问之间互相关联，并逐级推进，其中第三小问在表示出面积的函数关系式的时候要朝着有利于解决问题的方向转化，仅此一点难度较大！
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（2012南京市，26，9）“？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批语.
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室前内侧保留3米宽的空地，其他三内测各保留1米宽的道路，当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区的 面积为288m2?
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中化了一条横线，并打了一个“？”. 结果为何正确呢？
（1） 请你指出小明解答过程中存在的问题，并补充缺少的过程； 变化一下会怎样??
（2）如图，矩形A`B`C`D`在矩形ABCD内部.AB∥A`B`，AD∥A`D`，且AD:AB=2:1,设AB与A`B`、BC与B`C`、CD与C`D`、DA与D`A`之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A`B`C`D`∽矩形ABCD，a、b、c、d满足什么条件？请说明理由.
解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm. 空地蔬菜种植区域？ 根据题意，得2xx=288 解这个方程，得x1=-12(不合题意，舍去)，x2=12 所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）. 答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2. AA`B`DD`C`BC
解析：这里有长方形温室、长方形种植区域，弄清楚这两个长方形长宽之间的关系，再利用面积关系、相
似比例列出方程.
答案：（1）这里的长与宽的比为2：1，是蔬菜大棚的长与宽，而不是蔬菜种植区域.
设蔬菜大棚的宽为xm，则其长为2x,蔬菜种植区域的长为（2x-3-1）=(2x-4)m、宽为(x-1-1)=(x-2)m.
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有题意得，(2x-4) (x-2)=288
解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去)，x2=14 所以温室的长为2×14=28（m）
答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2. （2）设AB=x，则AD=2x，那么A`D`=2x-a-c,A`B`=x-b-d ∵矩形A`B`C`D`∽矩形ABCD
∴AD:AB=A`D`:A`B`=2:1 ∴A`D`=2A`B` ∴2x-a-c=2(x-b-d) ∴a+c=2b+2d
点评：此题主要考察一元二次方程、相似性质的应用，难度不高.
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