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AB=BC可得.
证明： （1）∵BF⊥AE，CG∥AE, CG⊥BF, ∴ CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90o, ∠CBG+∠BCG=90o,
∠BAH+∠ABH=90o,
∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG, AB=BC, ∴△ABH≌△BCG, ∴CG=BH;
(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o,
∴△CFG∽△BFC, ∴
FCBF?GFFC,
即FC2=BF·GF;
(3) 由（2）可知，BC2=BG·BF, ∵AB=BC, ∴AB2=BG·BF, ∴FCBC22
=
FG?BFBG?BF=
FGBG
即
FCAB22=
GFGB
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.
（2012，黔东南州，21）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D。
（1）求证：△ABC∽△BDC。
（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积。
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解析：第（1）小题要证三角形相似，由题意只需证两角
相等即可.
第（2）小题要利用相似三角形的对应边成比例求出CD 的长，这样就可以求出△BDC的面积 . 解：(1)证明：?AB是圆O的直径，
??ACB?90. ?BD是圆O的切线, ??ABD?90,
??A??ABC?90，?ABC??CBD?90,
???? ??A??CBD. 又??ACB??DCB?90?, ?△ABC∽△BDC. (2)?△ABC∽△BDC,
?ACBC?BCCD,
92?AC?8,BC?6,?CD??S?BDC?12?BC?CD?12.
92?272.
?6?点评：本题以基本图形：三角形与圆相结合为背景，综合考察了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直
角三角形的面积计算等知识，是一道比较简单的题目，能让学生发挥自己的思维水平，难度较小.
（2012四川宜宾，24，12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。 （1） 求证：△ABE∽△ECM;
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（2） 探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说
明理由；
（3） 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。
【解析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=﹣
2
+x=﹣（x﹣3）
+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积．
【答案】（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C, 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE 又△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B, ∴∠CEM=∠BAE, ∴△ABE∽△ECM
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME＞∠C ∴∠AME＞∠AEF,∴AE≠AM 当AE=EM时，则△ABE≌ECM ∴CE=AB=5，∴BE=BC-EC=1 当AM=EM时，∴∠MAE=∠MEA ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM 即∠CAB=∠CAE
又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴
AC2CEAC?ACCB
∴CE=
CB?256,∴BE=6-
256=
116
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（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM ∴
CMBE?CEABCMx156?x5156515,∴?∴CM=－
1x?2x=??x?3?2+
59∴AM=5-CM=5-﹝?又当BE=x=3=
12?x?3?2+﹞=?x?3?2+
559165,∴当x=3时，AM最短为
165，
BC,点C为BC的中点，
AB2∴AE⊥BC,∴AE=?BE22=4
2此时，EF⊥AC,∴EM=CE∴S△AEM=
?CM?125,
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．本小题也可以用几何法求解。
（2012年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）
分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
解：∵在正方形ABCD中，AC=32∴BC=AB=3， 延长A′B′交BC于点E， ∵点A′的坐标为（1，2）， ∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
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1∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是． 故选B．
3点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．
（2012年吉林省，第25题、10分．）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为t s,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm2． （1）当t=_____s时，点P与点Q重合； （2）当t=_____s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q, B两点之间（不包括 Q, B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
【解析】(1)由于P, Q的运动速度相同都是1cm/s，所以P, Q重合的点是AB的中点． (2) 由QF‖BC可证△AQF∽△ABC,得出比例式，问题得证．∽ （2） 要分两种情况：①当1＜t?△FAQ和△AQF∽△ABC. 4②当＜t＜2时，重合部分的图形是六边形．它的面积S?S?S△AQF?S正方形APDE343时，重合部分的图形是直角梯形．确定上下底和高．需证△FEG∽ △DHG【答案】
（1）∵P, Q的运动速度都是1cm/s, ∴P, Q在AB的中点重合． ∴当t=1s时，P, Q重合． （2） ∵QF‖AC
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