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（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明； （3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。
【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF；（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得△ABH∽△ECM；（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM=
MRsin45?，即可求得答案．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF.（2）△ABH∽△ECM．证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ABH=∠ECM，由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM.（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，∴∠MER=45°，CR=2MR，∴MR=ER=RC=，∴EM=
MRsin45?=．
【点评】考查了矩形的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．解题时注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”定理的应用．
（2012贵州铜仁，8，4分如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）
A．∠E=2∠K B. BC=2HI
C. 六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D. S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJK
【解析】A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；
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8题图
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B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确； C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误．
【解答】B.
【点评】本题考查相似图形的性质.两个图形相似，对应角相等，边长的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.解答此题应注意相似图形边长的比、周长的比、面积比与相似比之间的关系. （2012陕西5，3分）如图，在?ABC中，AD,BE是两条中线，则S?EDC:S?ABC?（）
A．1∶2
B．2∶3 D．1∶4
C．1∶3
【解析】由题意可知，ED为?ABC的中位线，则△CED∽△CAB
∴S?EDC:S?ABC?(ED)2?(1)2?1:4，故选D．
AB2【答案】D
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义、中位线的性质、相似三角形的性质等.难度中等.
（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）．
y F C B E O A （第6题）
D x
A．(2，0)
B．(
32，
32) C．(2，2) D．(2，2)
【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的2倍． 【答案】C
【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．
(2012山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F, 若EC=2BE,则
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BFFD的值是
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（ ）
A F B
E C D
1111A. B. C. D.
3524解析：如图，由菱形ABCD得AD∥BE,，所以△BEF∽△ADF, 又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故BFFD=
BEAD=
13.
解答：选B．
点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.
（2012·湖南省张家界市·10题·3分）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与
△DEF的相似比为 ．
【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根. 【解答】△ABC与△DEF的相似比为
425=
25.
【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.
（2012山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．
【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE∽△CDF。由于∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF∽△ACE。
解：（1）在△BDE和△CDF中∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF． （2）在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE． 【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE
【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等．
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(2012贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为___________．
【解析】由题意知AD∥BC，所以∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，所以△OAD∽△OCB．又AD=1，BC=3，所以△OAD与△OCB的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD的面积为3，所以△BOC的面积为27． 【答案】27．
【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．
（2012贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，
=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A ． 9 解析： 求出B． 10 C． 12 D． 13 =，把S四边形BCFE=8代入求出即可． 的值，推出△AEF∽△ABC，得出解：∵∴==， =， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴==， ∴9S△AEF=S△ABC， ∵S四边形BCFE=8， ∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC， 解得：S△ABC=9． 故选A． 答案： A 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的 第14页（共31页） 12999数学网 www.12999.com
12999数学网 www.12999.com 平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
（2012·湖北省恩施市，题号20 分值 8）如图8，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B1，因而EB1=EB。类似的，在AB上折出点B使AB=AB。这是B就是AB的黄金分割点。请你证明这个结论。
1111111
【解析】设BE=1，可知BC=AB=2，AE=5，由EB1=EB得AB11=AB1= 5-1,根据黄金分割意义AB11：AB=（5-1）：2，问题得证。
【答案】证明：设BE=1，则BC=AB=2，，AE=ABAB=（5-1）：2，∴B11是AB的黄金分割点。
【点评本题既考查学生阅读理解能力，又考查考查黄金分割点的意义，难度中等。数学新课程标准非常重视培养学生的动手操作能力，提倡让学生在操作中感受和体验数学知识的形成和发展．
把握折叠过程中的等边是解答此类问题的关键，勾股定理是计算折叠问题中线段长度的重要工具。
（2012南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE= 厘米.
AED2?BE2=5，∵EB=EB，∴AB=AB= 5-1,∴AB：
111111
解析：△BCE与△CDE均为等腰三角形，且两个底角
∠DEC=∠BCE，∴△BCE∽△CDE，∴∴
106BCCDBC=
CEDE,
=
6DE,∴DE=3.6厘米.
答案：3.6.
点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.
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