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（2012湖北黄冈，25，14）如图，已知抛物线的方程C1:y=-轴相交于点E，且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．
(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
1m(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B、C，与y
【解析】（1）把M(2，2)代入y=-1m(x+2)(x-m)即可求出m；（2）求出B、C、E三点坐标即可求出S△BCE；
（3）利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；（4）分两种情况来探讨解
题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题.
【答案】解：（1）依题意把M(2，2)代入y=- （2）由y=0得：-141m(x+2)(x-m)得：2=-
1m(2+2)(2-m)，解得 m=4.
(x+2)(x-4)=0 得 x1=-2，x2=4 ∴B（-2，0） C（4，0）.
12 由x=0得：y=2 ∴E（0，2） ∴S△BCE= （3）当m=4时，C1的对称轴为x=
12BCOE=
12×6×2=6.
×（-2+4）=1，点B、C关于直线x=1对称.连EC交对称轴于
点H，则H点使得BH+EH最小.设直线EC的解析式为y=kx+b，把E（0，2）、C（4，0）代入得y=-12x+2，把x=1代入得H（1，
32）.
BEBC?BCBF（4）分两种情况：①当△BEC∽△BCF时，则∠EBC=∠CBF=45°，
即BC2?BE?BF，作FT⊥x轴于点T，∴可设F（x，-x-2）（x＞0），则 -x-2=-∴BF=
1m(x+2)(x-m) ∵x+2＞0 ∴x=2m，F（2m，-2m -2）.
2?2m?2?2???2m?2??22?m?1?，BE=22，BC=m+2 .
2∴?m?2??22?22?m?1? 解得m=2?22，又m＞0，∴
m=2?22.
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②当△BEC∽△FCB时，则∴可设F（x，-
2mBCBF?ECBC，∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，∴
2mTFBT?OEOC?2m，
（x+2））（x＞0），∴-
2?m?4?m（x+2）=-
1m(x+2)(x-m)，
4?m?4?m22∵x+2＞0 ∴x=m+2，F（m+2，- ），EC=
BC=m+2，BF=?m?2?2??m?4，22 ∴?m?2??m?4??m?2?2??2224?m?4?m22，整理得0=16，显然不成立.
综上：在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角与△BCE相似， m=2?22.
【点评】本题综合考查了二次函数性质、轴对称性质、相似三角形性质等知识，但解题的关键要充分运
用方程思想和分类思想，同时解题过程中大量的数学计算和代数式变形也是不小的考验.难度较大.
（2012河南，22，10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若
AFEF?3，求
CDCG的值.
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若出解答过程.
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若
ABCD?a,BCBE?b(a?0,b?0)，则
AFEF?m(m?0)则
CDCG的值是
CDCG的值是 （用含m的代数式表示），试写
AFEF的值是 （用含a,b的代数式表示）.
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解析：（1）如图1，利用EH∥AB得△EHF∽△ABF，对应边成比例得AB=3EH，然后利用中位线定理得CG=2EH，又∵CD=AB，∴得出CD与CG的关系；
（2）与（1）方法道理都相同；
（3）此问是（1）、（2）类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件
ABCDBCBE?a,?BCBE?b(a?0,b?0)，所以添加如图3，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有AFEF?ABEHCDEH,,两式相比就可得出
AFEF?ab
（1）AB?3EH;CG?2EH;(2)
m232
作EH∥AB交BG于点H，则△EHF∽△ABF ∴
ABEH?AFEF?m,AB?mEH
∵AB=CD，∴CD?mEH EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG ∴
?2，∴CG=2EH
BEmEHm∴??. CG2EH2EHCD?CGBC（3）ab
点评：这是一道几何综合题，利用平行线截三角形相似，对应线段成比例，关键是研究问题的方法，类比、转化、从特殊到一般等思想方的渗透，这类题的一层一层推进，但方法总是类似的，原理是一样的.
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（2012湖北武汉，24，10分）已知△ABC中，AB＝25，AC＝45，BC＝6
（1）如图1点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；
（2）如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）
②试直接写出在所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）
解析：1、当△AMN∽△ABC时，易证MN为中位线，MN=当△AMN∽△ACB时,有
AMAC?MNBC12BC=3，
,根据AM,AC,BC的值，可求出MN。
2 ①从整数边BC出发,选定BC,然后分别过B、C作边25、45长即可，
②关键在于怎样在格点中找到面积最大的相似三角形，可考虑在格点中先画出最长的三角形最长边（AC的对应边）—正方形对角线，从而找到最大三角形。
解：1、如图，当△AMN∽△ACB时,有
AMAC?MNBC
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∵M为AB中点，AB=25 ∴AM=5 ∵BC=6，AC=45 ∴MN=
32
当△AMN∽△ABC时，有∠ANM=∠C, ∴
NMBC?MABA=
12
∴MN=
12BC=3
32∴MN的长为或3
2、（1）如图3（答案不唯一） （2）8个，如图4（答案不唯一）
点评：本题既考察了相似三角形的性质，也考察了图形的变换作图，在于学生需分两种情况讨论，学生容易忽略；（2）问难度在于怎样找到相似三角形中面积最大的以及找出所有这样的三角形的个数，解题时关键在于找到网格中的最长线段，让它与三角形最长边对应。题目难度较大。
(2012山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为
H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
(1)求证CG=BH; (2)FC2=BF·GF; (3) A FCAB22=
GFGB.
D
H B
E
G F
C
解析：(1)可证△ABH≌△BCG；(2)证△CFG∽△BFC可得；(3)先证△BCG∽△BFC得BC2=BF·BG,结合
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