第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序：
引 言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
1
、
实
数
q?有理数:任何有理数都可以用分数形式(p,q为整数且q?0)表示，?p? ?也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.?? ?无理数:用无限十进不循环小数表示.R??x|x为实数?--全体实数的集合．
[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下
讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于i?9正有限小数x?a0.a1a2?an,其中；0?ai??,nan?1a0为,非负2整数,,a0.a1?,an?1(an?01)9999,?，记x?y，对于正整数x?a0,则记x?(a0?1).9999?；对于负有限小数（包括负整数）则先将?y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为 0＝0.0000?
1
例： 2.001?2.0009999?；
3?2.9999?；?2.001??2.009999?；?3??2.9999?
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？
2、两实数大小的比较
1）定义1给定两个非负实数x?a0.a1?an?，y?b0.b1?bn?. 其中a0,b0为非负整数，ak,bk(k?1,?2,为整数，0?ak?9,0?bk?9．若有
ak?bk,k?0,1?,，则称2x与y相等，记为x?y；若a0?b0或存在非负整数l，
使得ak?bk,k?0,1,2,?,l，而al?1?bl?1，则称x大于y或y小于x，分别记为x?y或y?x．对于负实数x、y，若按上述规定分别有?x??y或?x??y，则分别称为x?y与x?y（或y?x）．
规定：任何非负实数大于任何负实数．
2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
定义2（不足近似与过剩近似）：x?a0.a1?an?为非负实数，称有理数
xn?a0.a1?an为实数x的n位不足近似；xn?xn?110n称为实数x的n位过剩近
似，n?0,1,2,?.
对于负实数x??a0.a1?an?，其n位不足近似xn??a0.a1?an?剩近似xn??a0.a1?an.
注：实数x的不足近似xn当n增大时不减，即有x0?x1?x2??； 过剩近似
xn110n；n位过
当n增大时不增，即有x0?x1?x2??．
命题：记x?a0.a1?an?，y?b0.b1?bn?为两个实数，则x?y的等价条件
是：存在非负整数n，使xn?yn（其中xn为x的n位不足近似，yn为y的n位过剩近似）． 命题应用
例1．设x,y为实
x?y，证明存在有理数r，满足x?r?y．
2
证明：由x?y，知：存在非负整数n，使得xn?yn．令r?为有理数，且
x?xn?r?yn?y．即x?r?y．
12?xn?yn?，则r
3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．P289?P302）．
1）封闭性（实数集R对?,?,?,?）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．
2）有序性：?a,b?R，关系a?b,a?b,a?b，三者必居其一，也只居其一. 3）传递性：?a，b，c?R，若a?b,b?c，则a?c． 4）阿基米德性：?a,b?R,b?a?0??n?N使得na?b． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
6）一一对应关系：实数集R与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设?a,b?R，证明：若对任何正数?，有a?b??，则a?b．
（提示：反证法．利用“有序性”，取??a?b）
二、绝对值与不等式
1、绝对值的定义
?a,实数a的绝对值的定义为|a|????aa?0a?0．
2、几何意义
从数轴看，数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离．|x?a|表示就是数轴上点x与a之间的距离． 3、性质
1）|a|?|?a|?0;|a|?0?a?0（非负性）； 2）?|a|?a?|a|；
3）|a|?h??h?a?h，|a|?h??h?a?h.(h?0)； 4）对任何a,b?R有|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）； 5）|ab|?|a|?|b|； 6）
ab?|a||b|（b?0）．
3
三、几个重要不等式
1、a2?b2?2ab, sinx ? 1. sinx ? x . 2、均值不等式:对?a1,a2,?,an?R?,记 M(ai)? a1?a2???annn? 1n?a, (算术平均值)
ii?1n1 G(ai)? H(ai)?na1a2?an??n????ai??, (几何平均值) ?i?1?n1a1?1a2???1an?11nn?i?11ai?nn?ai?11i. (调和平均值)
有平均值不等式:H(ai) ? G(ai) ? M(ai),即：
n1a1?1a2???1an?na1a2?an?a1?a2???ann
等号当且仅当a1?a2???an时成立.
3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)
?x??1,有不等式(1?x)?1?nx, n?N.
n当x??1且x?0,n?N且n?2时,有严格不等式(1?x)n?1?nx. 证：由1?x?0且1?x?0, ? (1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n (1?x).? (1?x)n?1?nx.
4、利用二项展开式得到的不等式:对?h?0,由二项展开式 (1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h,
3n 有 (1?h)n?上式右端任何一项. ［练习］P4．5 ［课堂小结］：实数：??一 实数及其性质?二 绝对值与不等式.
[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3
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§2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：
(1)掌握邻域的概念；
(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.
引 言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！
1、证明：对任何x?R有：(1)|x?1|?|x?2|?1；(2)
|x?1|?|x?2|?|x?3|?2.
?x?1?1?(x?2)?1?x?2,?x?1?x?2?1） （（1）（2）x?1?x?2?1,x?2?x?3?1,x?2?x?3?2.三式相加化简即可） （
2、证明：|x|?|y|?|x?y|.
3、设a,b?R，证明：若对任何正数?有a?b??，则a?b. 4、设x,y?R,x?y，证明：存在有理数r满足y?r?x.
[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的
思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.
本节主要内容：
1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间与邻域； 2、讨论有界集与无界集；
3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.
一 、区间与邻域
1、区间（用来表示变量的变化范围）
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