?1 2. 按习惯，自变量x、因变量y互换，得 y?f(x).
例 求 y?sh(x)?e?e2x?x ：R ? R的反函数.
x?x 解 固定y，为解 y?e?e，令 ex?z，方程变为
2zy?z2?1 z2?2zy?1?0 z?y?y?1 ( 舍去y?22y?12)
得x?ln(y?y2?1)，即y?ln(x?x2?1)?sh?1(x)，称为反双曲正弦.
定理 给定函数y?f(x)，其定义域和值域分别记为X和Y， 若在Y上存在函数g(y)，使得 g(f(x))?x, 则有g(y)?f?1(y).
分析：要证两层结论：一是y?f(x)的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证g(y)?f?1(y).
证 要证y?f(x)的反函数存在，只要证f(x)是X到Y的 1-1 对应.
?x1，x2?X，若f(x1)?f(x2)， 则由定理条件，我们有
g(f(x1))?x1 g(f(x2))?x2
?x1?x2，即 f:X?Y 是 1-1 对应.
再证g(y)?f?1(y).?y?Y，?x?X，使得y?f(x). 由反函数定义 x?f?1(y)，再由定理条件
g(y)?g(f(x))?x.
?g(y)?f?1(y)
*例 f:R?R，若f(f(x))存在唯一（?|）不动点，则f(x)也?|不动点. 证 存在性，设x即
f(x)是f * *?f[f(x)]，f(x)?f * *?f[f(x)]，
* *?f的不动点，由唯一性
f(x)?x，
*即存在f(x)的不动点x.
唯一性： 设x?f(x)，x?f(x)?f(f(x))， 说明 x是f?f的不动点，由唯一性，x=x. 从映射的观点看函数.
*设函数y?f(x),x?D.满足：对于值域f(D)中的每一个值y，Ｄ中有且只有一个值x，使得f(x)?y，则按此对应法则得到一个定义在f(D)上
的函数，称这个函数为f的反函数，记作
y=f(x) y=f(x) y=f -1 (x) 0 0 16 f?1:f(D)?D,(y|?x)或x?f?1(y),y?f(D).
３、注释
a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是Ｄ与f(D)之间的一个一一映射，称ff(D)?D；
?1为映射f的逆映射，它把
b) 函数f与ff(f?1?1互为反函数，并有:f?1(f(x))?x,x?D,
(x))?y,y?f(D).
c) 在反函数的表示x?f?1(y),y?f(D)中，是以y为自变量，x为因变量.若按习惯做法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数f的反函数f?1可以改写为
y?f?1(x),x?f(D).
应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.
六 、初等函数
1.基本初等函数（６类）
常量函数 y?C（Ｃ为常数）； 幂函数 y?x?(??R)； 指数函数y?ax(a?0,a?1)；
(?对数函数 y?loagxa0a?,；
三角函数 y?sinxy,?coxs?y,tg?x；,y
tgxarcctgx反三角函数 y?arcsxiny?,axrc?ycoasrc,?tgx. y注：幂函数y?x?(??R)和指数函数y?ax(a?0,a?1)都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.
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定义２．给定实数a?0,a?1，设x为无理数，我们规定：
?sup?ar|r为有理数?,当a?1时,?x a??r?xr?inf?a|r为有理数?,当0?a?1时.?r [问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？” ２．初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数 如：y?2sinx?cosx,y?sin(),y?logax?2x1esinx?1xx2,y?|x|. 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数. 注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点. 例２．求下列函数的定义域. （１） y?xx?1； （２） y?ln|sinx|. 3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则 （1） f(x) 是初等函数, 因为 f(x) ??f(x)?2. （2）?(x)?max?f(x) , g(x)? 和 ?(x)?min?f(x) , g(x)?都是初等函数, 因为 ?(x)?max?f(x) , g(x)?? ?(x)?min?f(x) , g(x)? ?（3）幂指函数 ?f(x)? ?f(x)? ［作业］ P15： 3；4:（２）、（３）； 5:（２）； 7:（３）；11 g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)? . ?f(x)?0?是初等函数,因为 ln?f(x)?g(x)g(x) ?e?eg(x)lnf(x). §4具有某些特性的函数 授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数 18 教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语. 教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定 义； 会求一些简单周期函数的周期. 教学重点：函数的有界性、单调性. 教学难点：周期函数周期的计算、验证. 教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序： 引 言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数. 一、有界函数 1、有上界函数、有下界函数的定义 定义1设f为定义在D上的函数，若存在数M(L)，使得对每一个x?D有f(x)?M(f(x)?L)，则称f为D上的有上（下）界函数，M(L)称为f在D上的一个上（下）界. 注：（1）f在D上有上（下）界，意味着值域f(D)是一个有上（下）界的数集； （2）又若M(L)为f在D上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：y?sinx，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界； （3）任给一个函数，不一定有上（下）界； （4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： f在D上有界?f(D)是一个有界集?f在D上既有上界又有下界?f在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数. 2、有界函数定义 定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个x?D有|f(x)|?M，则称f为D上的有界函数. 注：（1）几何意义：f为D上的有界函数，则f的图象完全落在y?M和y??M之间； （2）f在D上有界?f在D上既有上界又有下界；例子： y?sinx,y?cosx； （3）关于函数f在D上无上界、无下界或无界的定义. 3、例题 例1 证明f:X?R有界的充要条件为：?M,m，使得对,m?f(x)?M. 证明 如果f:X?R有界，按定义?M>0，?x?X有f(x)?M，即 ?x?X 19 ?M?f(x)?M,取m??M,M?M即可. 反之如果?M,m使得?x?X,m?f(x)?M，令M0?max?M?1,m?，则 f(x)?M0，即?M0?0，使得对?x?X有f(x)?M0，即f:X?R有界. 1x例2．证明 f(x)?例 x?D为(0,1]上的无上界函数. D 上的有界函数.证明：（1） 3．设f,g为 x?Dx?Dinff(x)?infg(x)?inf?f(x)?g(x)?； （2）sup?f(x)?g(x)??supf(x)?supg(x). x?Dx?Dx?D例4验证函数 f(x)?5x2x?32在R内有界. 解法一 由2x2?3?(2x)2?(3)2?22x?3?26x,当x?0时,有 f(x) ?5x2x?32?5x2x?32?5x26x?526?3. f(0) ?0?3, ? 对 ?x?R, 总有 f(x) ?3, 即f(x)在R内有界. 解法二 令 y?根. ? ??52?24y2?0, ? y2?解法三 令 x?32524?4, ? y?2. 5x2x?32, ? 关于x的二次方程 2yx2?5x?3y?0有实数 ????tgt, t???,?对应x?( ?? , ?? ). 于是 2?22?f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect? ?526sin2t, ? f(x) ?526sin2t?526. 二、单调函数 定义3设f为定义在D上的函数，?x1,x2?D,x1?x2, （1）若f(x1)?f(x2)，则称f为D上的增函数；若f(x1)?f(x2)，则称f为D上的严格增函数.（2）若 f(x1)?f(x2)，则称f为D上的减函数；若f(x1)?f(x2)，则称f为D上的严格减函数. 例5．证明：y?x3在(??,??)上是严格增函数. 3322证明：设x1?x2，x1?x2?(x1?x2)(x1?x1x2?x2) 33如x1x2?0，则x2?0?x1?x1?x2 20