所以由课本例7可知{an}收敛．
由定理2．8的证明可见，若数列{an}的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{an}必收敛于同一个极限．于是，若数列{an}有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{an}一定发散．例如数列{(?1)n},其偶数项组成的子列{(?1)2n}收敛于1，而奇数项组成的子列{(?1)2k?1}收敛于?1，从而{(?1)n}发散．再如数列{sinn?}，它的奇数项组成的子列{sin2k?1?}即为{(?1)k?1}，
22由于这个子列发散，故数列{sinn?}发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．
2§3 数列极限存在的条件
教学内容：第二章 数列极限 ——§3 数列极限存在的条件
教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具. 教学要求：（1）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；
（2）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性.
教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用. 教学难点：相关定理的应用. 教学方法：讲练结合. 教学程序：
引 言
在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列?an?极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n充分大时，an能充分接近其极限a，故可用an作为a的近似值.
本节将重点讨论极限的存在性问题.
为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.
从收敛数列的有界性可知：若?an?收敛，则?an?为有界数列；但反之不一定对，即?an?有界不足以保证?an?收敛.例如?(?1)n?.但直观看来，若?an?有界，又?an?随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.
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为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列. 一、单调数列
定义 若数列?an?的各项满足不等式an?an?1(a?an?1)，则称?an?为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．
1?2例如：???为递减数列；?n??n??(?1)n?为递增数列；??不是单调数列.
n??二、单调有界定理
〔问题〕 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？ 一个数列?an?，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.
定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限.
几何解释：单调数列{an}只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点
an沿数轴移向无穷远；（2）an无限趋于某一个定点A，即an?A(n??).
证明：不妨设{an}单调增加有上界，把{an}看作集合，有确界原理，
sup{an}??存在
即：（1）?n，an??；（2）???0，?n0?N使an????
0由于{an}单调增加，故当n?n0时有????an?an??????
0an?? # 即当n?n0时 |an??|??亦即limn??例1：a?0，证明数列a1?an?a?a???a，a2?a?a，a3?a?a?a，??，
a，??收敛，并求其极限.
证明：从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的. 易见an?a?0，且a2?a?a1，a3?a?a2，?，an?a?an?1，?
37
2从而 an?a?an?1?a?an两端除以an得 an?1?aan
?n，an?a?a?an?1?a故{an}有界即得极限存在
2an?l设limn??2，对等式an?a?an?1两边取极限，则有liman?lim(a?an?1)?n??n??
liman?1?a?l2?l?a?l?1?n??1?4a2
因{an}为正数列，故l?0，因此取l?1?1?4a2即为所求极限
n例2：求lim（k为一定数，a?1） n??nacn?1cn1n?1k11k()?(1?)a?1，则?N，当anank解：记 cn?n?Nna)kkn，则cn?0且
?1，
?时 (1?a11n故n?N后，{cn}单调递减，又有 cn?0?极限一定存在，设为A 由 cn?1?1a(1?1n)cn两边取极限得 A?12?k1aA（a?1）?A?0
例3 设 an?1??13????1n?, ( ??2 ). 证明数列{an}收敛.
例4 a?0, x1?0. xn?1?法, 亦即迭代法 ).
1?a??xn??. 求limxn. ( 计算a的逐次逼近?n??2?xn??解：由均值不等式, 有 xn?1?注
xn?1xn?1?a??xn????2?xn???n,xn?axn?a. ? {xn}有下界;
意到对有↘,
xn?a, 有
1?a?1?a?1????1?22?2?xn?( a )??2????1. ? xn?? 38
limxn?n??a.
三、柯西收敛准则
1、引言
单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则. 2、Cauchy收敛准则
定理（Ｃauchy收敛准则）数列?an?收敛的充分必要条件是：对任给的??0，存在正整数N，使得当n,m?N时有|an?am|??.
an?a，?N，证明：“?” {an}收敛，则存在极限，设lim则???0，当n?Nn??时有|an?a|??/2?当n,m?N时有 |an?am|?|am?a|?|an?a|?? “?”先证有界性，取??1，则?N，n,m?N?|an?am|?1 特别地，n?N时 |an?aN?1|?1?|an|?|aN?1|?1
设 M?max{|a1|,|a2|,?,|aN|,|aN?1|?1}，则?n，|an|?M
an?a 再由致密性定理知，{an}有收敛子列{an}，设limk??kk???0，?N1，n,m?N1?|an?am|??/2
?K，k?K?|an?a|??/2
k取N?max(K,N1)，当n?N时有nN?1?N?1?N
? |an?a|?|an?anN?1|?|anN?1?a|??/2??/2??
an?a 故limk??Cauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列）
?收敛准则的另一表示形式：???0，?N，当n?N时，对?P?Z=有
Cauchy 39
|an?P?an|??
3、说明
a) Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.
b) Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.
c) Cauchy准则把??N定义中an与a的之差换成an与am之差.其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.
例：如数列{an}满足|an?1?an|?q|an?an?1|（n?2,3,?）且0?q?1，证明数列{an}收敛.
证明：令|x2?x1|?c?0
|an?1?an|?q|an?an?1|?q|an?1?an?2|???q2n?1|x2?x1|
?|an?p?an|?|an?p?an?p?1|?|an?p?1?an?p?2|???|an?1?an|
?c(qn?p?2?qn?p?3???qn?1)?cqn?1(1?q???qp?1)?cqn?11?q
???0，（不妨设0???c1?q），取N?[1?ln(1?qclnq)?]，则当n?N时，对
任给自然数p有 |an?p?an|?12cqn?11?q??.故由Cauchy收敛准则知数列{xn}收敛.
例：证明数列 an?1????1n发散
证明：要证：??0?0，对?N，必有m0?N，n0?N使得 |am?an|??0
00设m?n则|am?an|?1n?1?1n?2???1m?1n?1?1n?2???1n?(m?n)
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