将对此作进一步讨论.
一、函数的定义
１．定义１ 设D,M?R，如果存在对应法则f，使对?x?D，存在唯一的一个数y?M与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作
f:D?M
x|?y .
数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为
f(x).全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f(D).
即f(D)??y|y?f(x),x?D?.
２．几点说明
（1）函数定义的记号中“f:D?M”表示按法则f建立D到M的函数关系，x|?y表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x|?f(x).习惯上称
x自变量，y为因变量.
（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法
则.所以函数也常表示为：y?f(x),x?D.
由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则. 例如：1）f(x)?1,x?R, g(x)?1,x?R\\?0?.（不相同，对应法则相同，定义域不同）
2）?(x)?|x|,x?R, ?(x)?x,x?R.（相同，只是对应法则的表达
2形式不同）.
（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数.即“函数y?f(x)”或“函数f”.
（4）“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于a?D，f(a)称为映射f下a的象.a称为f(a)的原象.
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（5）函数定义中，?x?D，只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.
二 、函数的表示方法
1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）. 2 可用“特殊方法”来表示的函数.
1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.
,?0?1x??,，0例如 sgxn??x0（符号函数） ??1x,?0?（借助于sgnx可表示f(x)?|x|,即f(x)?|x|?xsgnx）. 2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）
例 １）y?[x]（取整函数）
比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4. 常有 ?x??x??x??1, 即0?x??x??1.
与此有关一个的函数y?x??x???x?（非负小数函数）图形
是一条大锯，画出图看一看.
２）狄利克雷（Dirichlet）函数
?1,当x为有理数,D(x)??
?0,当x为无理数,这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.
３）黎曼（Riemman）函数
pp?1,当x?(p,q?N,为既约分数),??qq R(x)??q?0,当x?0,1和(0,1)内的无理数.?三 函数的四则运算
给定两个函数f,x?D1,g,x?D2，记D?D1?D2，并设D??，定义f与g在
D上的和、差、积运算如下： F(x)?f(x)?g(x),x?DH(x)?f(x)g(x),x?D；G(x)?f(x)?g(x),x?D；. 12
若在D中除去使g(x)?0的值，即令D??D\\?xg(x)?0,x?D2???，可在D?上定义f与g的商运算如下；L(x)?f(x)g(x)?,x?D.
注：１）若D?D1?D2??，则f与g不能进行四则运算.
２）为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写为：
f?g,f?g,fg,fg.
四、复合运算
１．引言
在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.
例：质量为m的物体自由下落，速度为v，则功率E为
E?2?mv?1222??E?mgt.
2v?gt??1抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数f(v)?入f，即得
f(v(t))?12mgt2212mv,v?gt2，把v(t)代
.
这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.
[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；
y?f(u)?arcsinu,u?D?[?1,1],u?g(x)?2?x,x?E?R2.
就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.
2．定义（复合函数） 设有两个函数y?f(u),u?D,u?g(x),x?E，
E??xf(x)?D??E?，若E???，则对每一个x?E?，通过g对应D内唯一一个
值u，而u又通过f对应唯一一个值y，这就确定了一个定义在E?上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作y?f(g(x)),x?E?或y?(f?g)(x),x?E?.简记为
f?g.称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，u为中间变
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量.
3. 例子
例 y?f(u)?u, u?g(x)?1?x2. 求 ?f?g?(x)?f?g(x).?并求定义
域.
例
2
_____.
⑴
f(1?x)?x?x?1, f(x)?__________ ⑵
f(x)? ( )
1?1?2f?x???x?2.x?x? 则
A. x2, B. x2?1, C. x2?2, D. x2?2.
例 讨论函数y?f(u)?u,u?[0,??)与函数u?g(x)?1?x,x?R能否
2进行复合，求复合函数.
4 说明 １）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？
例如：
y?sin?x12y?siun?u,v?,v，?1复x2合成：
x?,. ?[1,1]２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解
时也要注意定义域的变化.
①y?loga1?x2,x?(0,1)?y?logau,u?z,z?1?x.
2②y?arcsinx2?1?y?arcsinu,u?v,v?x2?1. ③y?2sin2x?y?2,u?v,v?sinx.
u2五、反函数
１.引言
在函数y?f(x)中把x叫做自变量，y叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f(u)?u,u?t2?1, 那么u对于f来讲是自变量，但对t来讲，u是因变量.
习惯上说函数y?f(x)中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现
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时变化.但有时我们不仅要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.
２.反函数概念
定义设f:X?R是一函数，如果?x1，x2?X, 由
x1?x2?f(x1)?f(x2)
(或由f(x1)?f(x2)?x1?x2)，则称f在X上是 1-1 的. 若f:X?Y，Y?f(X)，称f为满的.
若 f:X?Y是满的 1-1 的，则称f为1-1对应. f:X?R是1-1 的意味着y?f(x)对固定y至多有一个解
x，f:X?Y是1-1 的意味着对y?Y，y?f(x)有且仅有一个
解x.
定义 设f:X?Y是1-1对应.?y?Y, 由y?f(x)唯一确定一个x?X, 由这种对应法则所确定的函数称为y?f(x)的反函数，记为x?f?1(y).
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域
f:X?Yf?1
(恒等变换）
:Y?X显然有
ff(f?1?f?I:X?X?1?f?1?I:Y?Y?f:X?Y (恒等变换)
.
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为
y?f?1)?1(x), 这样它的图形与
y?f(x)的图形是关于对角线y?x对称的. y 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.
但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子 ?x,f(x)???3?x,0?x?11?x?2 它的反函数即为它自己.
实际求反函数问题可分为二步进行：
?10 x 1. 确定 f:X?Y的定义域X和值域Y，考虑 1-1对应条件.固定 y?Y，解方程
f(x)?y 得出 x?f(y).
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