2若a?0，则???0，?N1，当n?N1时有an???an??即
limn??an?0?a
a?
若a?0，则???0，?N2，当n?N2时有 |an?a|?|an?a|an?a|an?a|a? |an?a|????
数列较为复杂，如何求极限？
{an?bn}、{anbn}性质4（四则运算法则）若{an}、{bn}都收敛，则{an?bn}、(an?bn)?liman?limbn，limanbn?limanlimbn特别地，也都收敛，且 limn??n??n??n??n??n??limcan?climan，c为常数如再有limbn?0则{n??n??n??anbn1}也收敛，且 limanbnn???limann??limbnn??
证明：由于an?bn?an?(?1)bn，算的结论即可.
anbn?an?bn，故只须证关于和积与倒数运
limbn?b，an?a，?N1，?N2，???0，设lim当n?N1时 an?a??；n??n??当n?N2时 bn?b??
取N?max(N1,N2)，则当n?N时上两式同时成立.
（1） |anbn?ab|?|(an?a)bn?a(bn?b)|?|an?a||bn|?|a||bn?b|
由收敛数列的有界性，?M?0，对?n有|bn|?M 故当n?N时，有 |anbn?ab|?(M?|a|)?
anbn?ab 由?的任意性知limn??bn?b?0 （2） limn?? 31
由保号性，?N0?0及k?0，对?n?N0有|bn|?k（如可令k?取
|1bn?1b|?|bn?b||bnb|N?max(N0,N2)|b|2）
，
则当
n?N时有
?|bn?b|k|b|??k|b|由?的任意性得 limn??1bn?1b
用归纳法，可得有限个序列的四则运算： limNN(k)nn???xk?1Nk?1???limk?1Nk?1n??xn(k)， .
?? limn???x(k)n?limn??xn(k)但将上述N换成?，一般不成立.事实上?或?本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.
性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列{an}、{bn}、{cn}，如?N，当n?N时有
an?cn?bn，且liman?limbn?l，则limcn?l n??n??n??an?limbn?l????0，?N1,N2 证明：limn??n??k?1k?1当n?N1时， l???an?l??；当n?N2时， l???bn?l??
取N0?max(N1,N2,N)，则当n?N0时以上两式与已知条件中的不等式同时
cn?l 成立，故有n?N0时 l???an?cn?bn?l???|cn?l|??即limn??该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.
bn?a，则推论：若?N，当n?N时有a?cn?bn（或bn?cn?a）且limn??limcn?an??
32
a例：求证lim?0（a?0） n??n!n证明：?k??使得k?a，从而当n?k时有 0?ann!?a1?a2???ak?ak?1???an?akk!?an
kkaaalimalim?0由推论即可得结论 由于n????n??nk!nk!例：设a1，a2，?，am是m个正数，证明
nnnlinma1?a2??am?maa1x,a2(,?,am) n??证明：设A?max(a1,a2,?am)，则 A? m?1?limn??例1： limnnna1?a2??am?nnnnmA
m?1，由迫敛性得结论.
n??a?1(a?1)
nna?1?0， a?(1?hn)，得0?hn? 在证明中, 令h?nhn?0.
an，由此推出
由此例也看出由xn?zn?yn和limxn?a?limyn, 也推出limzn?a.
n??n??n??例2： 证明 limnn??n?1.
证明： 令 nn?1?h,
nn?(1?hn)n?1?nhn?n(n?1)2hn???hn2n?n(n?1)2hn2(n?3)，
0?hn?2
n?1两边夹推出 hn?0，即nn?1.
在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例； 例3： 求极限 lim4n?6n?122
3n?n?924?6?4n?6n?1n解 lim?limn??3n2?n?9n??3?1?nn??1nn292?43.
例4： 求极限 lim(1?a???an)n??(0?a?1).
33
解 lim(1?a???a)?limnn??1?ann??(例5：limn??3n?1n?n?1n1n)?lim3n?1n1n1?alimn???11?a.
?lim(3?n??n?1n1nn??)lim(1?n??1n)
?(lim3?limn??n??)(lim1?limn??n??)?3?1?3
例6：求limamnmk?am?1nm?1k?1???a1n?a0???b1n?b0n??bkn?bk?1n，m?k，am?0，bk?0
解：原式?limn??amnm?k?am?1nm?k?1???a1n1?k1?k?a0n?k?kbk?bk?1n?1???b1n?b0n?am,m?k?b??m ?0,m?k??分子分母最高次数相同即：有理式的极限??分子最高次低于分母最2n?4n?53n?10n?7332，为最高次系数之比高次，则为0
如 limn???23
n(n?1?n)?lim例7：limn??n??nn?1?n?lim11?1nn???1?11?1?12
例8：设a,b?0，证明 lim证明： max(a,b)?二 数列的子列
1、引言
nnn??a?bnnn?max(a,b).
nnmax(a,b)?na?b?n2max(a,b)n?max(a,b).
极限是个有效的分析工具.但当数列?an?的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道?an?没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”. 2、 子列的定义 定义1 设?an?为数列，?nk?为正整数集N?的无限子集，且
34
n1?n2?n3???nk??，则数列
an1,an2,?,ank,?称为数列?an?的一个子列，简记为?an?.
k注1 由定义可见，?an?的子列?an?的各项都来自?an?且保持这些项在?an?k中的的先后次序.简单地讲，从?an?中取出无限多项，按照其在?an?中的顺序排成一个数列，就是?an?的一个子列（或子列就是从?an?中顺次取出无穷多项组成的数列）.
注2 子列?an?中的nk表示an是?an?中的第nk项，k表示 an是?ankkkk?中的
第k项，即?an?中的第k项就是?an?中的第nk项，故总有nk?k. 特别地，若nk?kk，则an?an，即?ankk???a?.
n注3 数列?an?本身以及?an?去掉有限项以后得到的子列，称为?an?的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为?an?的非平凡子列.
如?a2k?,?a2k?1?都是?an?的非平凡子列.由上节例知：数列?an?与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.
那么数列?an?的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：
定理2.8 数列{an}收敛的充要条件是：{an}的任何非平凡子列都收敛． 证明： 必要性 设liman?a,{an}是{an}的任一子列．任给??0，存在正数
n??kN，使得当k?N时有ak?a??.由于nk?k,故当k?N时有nk?N，从而也有． an?a??，这就证明了{an}收敛（且与{an}有相同的极限）
kk 充分性 考虑{an}的非平凡子列{a2k}，{a2k?1}与{a3k}．按假设，它们都收敛．由于{a6k}既是{a2k}，又是{a3k}的子列，故由刚才证明的必要性，
lima2k?lima6k?lima3k.k??k??k?? （9）
又{a6k?3}既是{a2k?1}又是{a3k}的子列，同样可得
lima2k?1?lima3k. （10）
k??k??（9）式与（10）式给出
lima2k?lima2k?1．
k??k?? 35