n例4 证 lima?0(a?1).
n??n!n证明: 因为
???0aaaaaaaaa????????????c?n!12[a][a]?1n[a]!nn[a](c?a[a][a]!)，
， 要使
ann!?0?a只要c?a??，取 N??c?a?，则只要 n?N，??，???nn!??nn就有
ann!?0??，即limn42nan??n!?0.
例5 limn???0.
n(n?1)2!?3?2证明:4n?(1?3)n?1?n?3? ?n(n?1)(n?2)3!3n(n?1)(n?2)3!?3???33n?
?3, n?3.
n2, 就有 6n?427?n2注意到对任何正整数k, n?2k时有 n?k? 0?n42n?6n227n(n?1)(n?2)?6n27(n?1)(n?2)?1?n?4? ?2427?1n?1n.
于是，对???0, 取 N?max{ 4 , ?? }.??.
???例6 limnn??a?1, a?1.
证法一 令 na?1??n, 有 ?n?0. 用Bernoulli不等式，有
1nn1 a?(1??n)?1?n?n?1?n(a?1), 或 0?an?1?证法二 （用均值不等式） 0?na?1n?an. ?
a?1?nna?1?1?1??n?1个a?n?1n?1?a?1n?an. ?
例7 lim证
0?nn??n?1.
一
n：
n 1n?2
2n?n?2n
?1?2n?2nn?2时
.
，
n?1?n?1??2nnnnn证二： n?(n)?(1?n?1)?n(n?1)2!(nn?1)2 （二项式展开）
? nn?1?2n?1
2?1] 因此，???0，取N?[
?2 ，则当n?N时就有 0?nn?1??即
26
附：此题请注意以下的错误做法：
n?(1?nn?1)n?1?n(nn?1)?nn?1?n?1n?1?1n???1???1n
?n?11?? （注意 1?3n221n不趋于零）
例8：证明limn??n?4?3
证明：由于
3n22n?4?3?12n?42?12n （n?3） （*）
因此，???0只要取
12n?? 便有
3n22n?4?3??
12由于（*）式是在n?3的条件下成立的，故应取N?max{3,[时就有
3n22?]}，当n?Nn?4?3?? 即 lim3n22n??n?4?3
总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份. 4 关于数列的极限的??N定义的几点说明 （1）关于?：① ?的任意性.定义1中的正数?的作用在于衡量数列通项an与常数a的接近程度，?越小，表示接近得越好；而正数?可以任意小，说明an与常数a可以接近到任何程度；②?的暂时固定性.尽管?有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N；③?的多值性.?既是任意小的正数，那么,3?,?2等等，同样也是任意小的正数，因此定义1中的不等式|an?a|??2?中的?可用,3?,?2等来代替.从而“|an?a|??”可用“|an?a|??”代替；④
2?正由于?是任意小正数，我们可以限定?小于一个确定的正数.
（2）关于N：① 相应性，一般地，N随?的变小而变大，因此常把N定作N(?)，来强调N是依赖于?的；?一经给定，就可以找到一个N；②N多值性. N的相应性并不意味着N是由?唯一确定的，因为对给定的?，若N?100时能使得当n?N时,有|an?a|??,则N?101或更大的数时此不等式自然成立.所以不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是N的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的N也不必限于自然数，只要N是正数即可；而且把“n?N”改为“n?N”也无妨. （3）数列极限的几何理解：在定义1中，“当n?N时有|an?a|??”?“当
Nn?N
时有a???an?a??” ?“当n?N时有an??a??,a????U(a;?)”
27
?所有下标大于N的项an都落在邻域U(a;?)内；而在U(a;?)之外，数列?an?中
的项至多只有N个（有限个）.反之，任给??0，若在U(a;?)之外数列?an?中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N，则当n?N时有an?U(a;?)，即当n?N时有|an?a|??，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义1? 任给??0，若在U(a;?)之外数列?an?中的项只有有限个，则称数列
?an?收敛于极限a.
由此可见：1）若存在某个?0?0，使得数列?an?中有无穷多个项落在U(a;?0)之外，则?an?一定不以a为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关.所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响. 例1．证明?n2?和?(?1)n?都是发散数列. 例2．设limxn?limyn?a，作数列如下：?zn?:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn,?. 证
n??n??明 limzn?a.
n??例3．设?an?为给定的数列，?bn?为对?an?增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明：数列?bn?与?an?同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等. 三、无穷小数列
在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2 若liman?0，则称?an?为无穷小数列.
n??n?1?1??1??(?1)??1?如??,?2?,??,?n?都是无穷小数列.
nnn???????2?数列?an?收敛于a的充要条件：
定理2.1 数列?an?收敛于a 的充要条件是?an?a?为无穷小数列. [作业] 教材P27 3，4，5，7，8⑵.
§2 收敛数列的性质
教学内容：第二章 数列极限——§2 收敛数列的性质.
教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保
号性、保不等式性；
（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学程序：
引 言
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上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证liman?a的方法，
n??这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质
性质1（极限唯一性） 若数列{an}收敛，则它的极限唯一.
证一：假设a与b都是数列{an}的极限，则由极限定义，对???0，
?N1,N2??，当
n?N1时，有 an?a??； n?N2时，有 an?b??
取N?max(N1,N2，则当n?N时有
|a?b|?|(an?b)?(an?a)|?|an?a|?|an?b|?2?
由?的任意性，上式仅当a?b时才成立.
证二：（反证）假设{an}极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a,b
liman?an??b?aan?b且a?b故不妨设a?b，取???0 ，limn??2a?b2由定义，?N1??，当n?N1时有 an?a???an?a??? 又?N2??，当n?N2时有 an?b???an?b???a?b2?ana?b2
因此，当n?max(N1,N2)时有 an?矛盾，因此极限值必唯一.
性质2（有界性）如果数列{an}收敛，则{an}必为有界数列.即?M?0，使对?n有 |an|?M
an?a取??1，?N?0使得当n?N时有 a?a?1 证明：设limnn??即 |an|?|a|?|an?a|?1?|an|?|a|?1
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令 M?max(1?|a|,|a1|,|a2|,?,|aN|)
则有对?n |an|?M即数列{an}有界
注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如{(?1)n} ②在证明时必须分清何时用取定?，何时用任给?.上面定理3.2证明中
必须用取定?，不能用任给?，否则N随?在变，找到的M也随?在变，界M的意义就不明确了.
an?a，liman?b， 性质3（保序性）设limn??n?? （1） 若a?b，则存在N使得当n?N时有an?bn
（2） 若存在N，当n?N时有an?bn，则a?b（不等式性质） 证明：（1）取??a?b2?0，则存在N1，当n?N1时 |an?a|?a?b2a?b2
从而an?a?a?b2?
a?b2又存在N2，当n?N2时 |bn?b|???bn?b?a?b2?a?b2
当n?max(N1,N2)时 bn?a?b2?an
（2）（反证）如a?b，则由⑴知必?N当n?N时an?bn这与已知矛盾
an?a?b则?N，当n?N时a?b.特别地，若推论（保号性）若limnn??liman?a?0，则?Nn??，当n?N时an与a同号.
思考：如把上述定理中的an?bn换成an?bn，能否把结论改成
liman?limbnn??n??？
aan?a，则liman?例：设an?0（n?1,2,?），若limn??n??
证明：由保序性定理可得 a?0
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