2233如x1x2?0，则x1?x1x2?x2?0,?x1?x2
3?0即得证. 故x13?x2例6．讨论函数y?[x]在R上的单调性.
??x1,x2?R，当x1?x2时，有?x1???x2?，但此函数在R上的不是严格增函数.
注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f可能单调，也
可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；
2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分.
更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.
总结得下面的结论：
?1?1定理1．设y?f(x),x?D为严格增（减）函数，则f必有反函数f，且f在其定义域f(D)上也是严格增（减）函数.
证明：设f在D上严格增函数.对?y?f(D),有x?D,使f(x)?y.下面证明这样的x只有一个.事实上，对于D内任一x1?x,由于f在D上严格增函数，当
x1?x时
f(x1)?y，当x1?x时f(x1)?y，总之
f(x1)?y.即
?y?f(D),都只存在唯一的一x?D,使得f(x)?y，从而
例7 讨论函数y?x2在(??,??)上反函数的存在性；如果y?x2在(??,??)上不存在反函数，在(??,??)的子区间上存在反函数否？
结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.
例8 证明：y?ax当a?1时在Ｒ上严格增，当0?a?1时在R上严格递减. 三、奇函数和偶函数
定义4. 设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数.若对每一个x?D有（1）f(?x)??f(x)，则称f为D上的奇函数；（2）f(?x)?f(x)，则称f为D上的偶函数.
注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y轴对称；
（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)?x,x?[0,1]没有必要讨论奇偶性.
奇函数:y=sinx??偶函数:y=sgnx?（3）从奇偶性角度对函数分类：?；
非奇非偶函数:y=sinx+cosx??既奇又偶函数:y?0?（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左
边或右边即可四、周期函数 1、定义
设f为定义在数集D上的函数，若存在??0，使得对一切x?D有f(x??)?f(x)，则称f为周期函数，?称为f的一个周期.
2、几点说明：
（1）若?是f的周期，则n?(n?N?)也是f的周期，所以周期若存在，则
21
不唯一.如y?sinx,??2?,4?,?.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”.如y?sinx，周期为2?；
（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）y?x?1，不是周期函数；2）y?C（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.
第二章数列极限
引 言
为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1，然后为,,,?,,?如此，一直无尽地变
234n1111下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.
在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（已知：S??r2,l?2?r），但这两个公式从何而来？
要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.
问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.
辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.
按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n边形.易知，正n边形周长为
ln?2nRsin?n
显然，这个ln不会等于l.然而，从几何直观上可以看出，只要正n边形的边数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长. n越大，近似程度越高.
但是，不论n多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.
为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n无限地增大，记为n??.直观上很明显，当n??时，ln?l，记成limln?l.——极限思想.
n??即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出来了，称为“割圆术”.其方法就是——无限分割.以直代曲；其思想在于“极限”.
除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.
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§1数列极限的概念
教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题. 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的??N定义的清晰概念.深刻理解数列发
散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的??N定义证明数列的有关命题，并能运用??N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.
教学重点：数列极限的概念.
教学难点：数列极限的??N定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学程序：
一、什么是数列
1 数列的定义
数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；
若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称f:N??R为数列. 注：1）根据函数的记号，数列也可记为f(n),n?N?；
2）记f(n)?an，则数列f(n)就可写作为：a1,a2,?,an,?，简记为?an?，
即?f(n)|n?N????an?；
3）不严格的说法：说f(n)是一个数列. 2 数列的例子
?(?1)n?1111?111?（1）?（2）?1??:2,1?,1?,1?,?； ?:?1,,?,,?；
234n?435??n?（3）?n2?:1,4,9,16,25,?； （4）?1?(?1)n?1?:2,0,2,0,2,?
二、什么是数列极限
1．引言
对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）；
第1天截下第2第3
? ?
12111天截下??2，
222111天截下?2?3，
222，
第n天截下?
11n?122?12n，
23
?
?
得到一个数列： ,不难看出，数列??11222,123,?,12n,?
11?的通项nn?2?2?随着n的无限增大而无限地接近于零.
一般地说，对于数列?an?，若当n无限增大时，an能无限地接近某一个常数
a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限.不具有这种特性的数列就不
是收敛的数列，或称为发散数列.
据此可以说，数列??1?是收敛数列，0n??2?是它的极限.
数列?n2?,?1?(?1)n?1?都是发散的数列.
需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.
以?1??为例，可观察出该数列具以下特性：
?n??1?随着n的无限增大，an?1?1n无限地接近于1?随着n的无限增大，1?1n?1|无限减少?|1?1n1n与
1的距离无限减少?随着n的无限增大，|1?小，只要n充分大.
如：要使|1? 要使|1?1n1n?1|?0.1，只要n?10?1|会任意
即可； 即可；
?1|?0.01，只要n?100??
任给无论多么小的正数?，都会存在数列的一项aN，从该项之后(n?N)，
1??|?1???1|??n???.即???0,?N，当n?N时，|?1??1???1|??n?.
1如何找Ｎ？（或N存在吗？）解上面的数学式子即得：n??即可.这样???0,当n?N时，|?1????1?n?1?11?1|?????n?nN1n?，取N?[]?1?1.
1n综上所述，数列?1??的通项1?随n的无限增大，1?无限接近于1，
1???1|??n??即是对任意给定正数?，总存在正整数N，当n?N时，有|?1??1??1???以n??.此即
1为极限的精确定义，记作lim?1?n????11?n??,1??1. 或?1?nn?2.数列极限的定义
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定义1 设?an?为数列, a为实数,若对任给的正数?,总存在正整数N,使得当n?N时有|an?a|??, 则称数列?an?收敛于a,实数a称为数列?an?的极限,并记作liman?a或an?a(n??).
n??(读作:当n趋于无穷大时,an的极限等于a或an趋于a).由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n???写成n??,即liman?a或
n??an?a(n??).
若数列?an?没有极限，则称?an?不收敛，或称?an?为发散数列. [问题]：如何表述?an?没有极限？
3.举例说明如何用??N定义来验证数列极限 例1.证明: lim1npn???0(p?0)12. ,要使 |
1np证明:???0 不妨设?? 只要n?(),取
211p－0|<
1np
?11?N=?()P??1 ?2? 则当n>N时,有 |
1np－0|=
1np≤
1?1?p(?()P??1)?2?1
例2 求证 limqn?0,n??(0?q?1).
证明: ???0, 不妨设??1，要使 qn?0?qn?? ，只要 nlgq?lg?（注意这里 lgq?0,lg??0），只要 n???. 取N??lg??，则当 n?N时，lgq?lgq?lg?就有 qn?0??， 即 limqn?0.
n??例3 求证limnn??a?1(a?0).
n证法1 先设a?1，???0，要使
a?1?na?1??， 只要 na?1??，
只要 1lga?lg(1??)，只要 n?lga.
lg(1??)n 取 N??lga???， 当 n?Nlg(1??)??1a时，就有
1?1.
na?1??，即 limn??na?1.对
0?a?1，令 b?，则 limnn??a?limnn??b证法2 令na?1?h，则 a?(1?hn)n?1?nhn???hnn?nhn，0?hn?a
nn???0n, 要使
na?1?hn??n, 只要 a??，取N??a?，只要n?N，就有
???n??a?1??，即limn??a?1.
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