规律”这一建构模型的过程。其中，需要注意的是，教师要牢牢把握学生不断发展的思维状态，有的放矢地引导学生感悟建构数学模型的步骤和方法。
模型的迁移应用是学生形成模型思想的重要环节，它不但可以帮助学生进一步巩固建模的步骤和方法，感受数学模型的魅力，同时也是学生积累数学模型建构经验的重要途径。例如，李老师在课例中设置了两个有趣味的问题：一是“老牛和小马驮货物”，二是“鸡兔同笼”问题。学生通过对这两个问题独立解答，加深了对二元一次方程组这个数学模型的体验，取得了良好的效果。
三、深入认识模型，感受模型价值
建立一个数学模型后，可以再对这个模型赋予另外的实际意义，让学生从中感受到数学模型的普适性和重要价值，并能激发学生建构数学模型的兴趣。课例中，当学生对所列的二元一次方程组赋予另外的实际意义时，学生通过类比就说出了很多，比如：有的把未知量换成了买两种水果时的价格与数量，有的把未知量换成了工人和生产效率等等，所举的例子也越来越生动、丰富。
四、总结建模方法，积累建模经验，形成建模策略
在总结提升阶段，可以引导学生回顾数学建模的全过程，包括思维的原点、转折点、关键点等一些隐性内容，都尽可能地把它们显现出来，并按照一定的逻辑关系将它们结构化、系统化，逐步形成一种建构模型的整体策略，以便于在以后的学习中进行同类内容的自主学习。
抛砖之语，敬请老师们批评指正。
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猜想、证明、拓广 教学设计 --------有利于学生发现问题、提出问题的教学设计
青岛56中 王玉英
指导教师 裴玮 点评：王老师的教学设计合理，重难点处理到位，问题设计环环紧扣，结构清晰，开放互动效果好，是用心之作。
课程专家 云鹏 点评：一个用心的作业，以课堂实录的方式呈现，并将自己的意图加以阐明。好！值得大家学习。建议在教学目标中加入“培养学生发现问题、提出问题的能力”。
齐鲁师院省课程研究中心课程专家 李红婷 点评：王老师的作业比较好地体现了“基于问题解决的课例研究”要求。所选择的这节课能够较好地承载课例研究问题（即有利于发现问题和提出问题的教学设计）。从引入阶段问题情境的设计、到问题解决过程中层级递进的问题“支架”设计，比较好地启动了学生思维活动，并持续推进了学生深层次思维活动，让学生在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，自主建构知识。值得大家学习和借鉴！
一、教材依据及设计思想
本节课位于北师大版教材九年级上册，是在学生学习了证明（一）（二）（三）、一元二次方程，反比例函数等知识点后的一节探究性活动课，旨在让学生用以上知识解决一个探究性问题，从而体会数学知识之间的内在联系，掌握数学的研究方法。 二、教学目标
1、引导学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2、在问题解决过程中综合应用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数
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学的整体性认识。
3、在探究活动中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。 4、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。 三、教学重点及难点
体会知识之间的内在联系，在探究活动中，培养学生的问题意识，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。
四、师生的准备过程
（1）知识点的补充：含有字母系数的一元二次方程的解法，如：（2m+2n-x）x=2mn 一元二次方程根的判别式
（2）布置预习作业：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？（教师布置前置性作业，使学生在较为宽松和自由的环境中进行探究，使学生真正成为学习的主人，主动的发现问题，提出问题）
五、教学过程（课堂实录） （一）预习作业展示
教师出示第一张幻灯片：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？（培养学生发现问题，提出问题的意识）
师：同学们，来看第一个问题，这样的正方形存在吗？ 生：不存在！
师：你是怎么做的？请把你的解决方法展示给大家！
生A：我举了一个例子：若一个正方形它的边长为4，它的周长和面积分别为16和16。而如果周长变为原来的2倍32，边长为8，而此时面积变为64，面积变为原来的4倍。列表如下
边长 周长 面积 原正方形 4 16 16 新正方形 8 32 64 所以这样的正方形不存在
师：这位同学举了一个具体的例子，思路非常好，而且用表格形式表示，清楚明了，提倡大家这样做。（教师及时对好的做法进行肯定）这样就得出一个结论：这样的正方形不存在，同学们同意他的观点吗？（此处设计便于学生发现以点带面的问题）
生B：他只举了一个例子，就给出结论，是不是有点太武断了？（此处教学设计促
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进学生发现问题并提出问题，问题思维深度不断递进），应该多举几个例子！
生C：多举几个例子说服力会更大，但是只是更大，并不足以说服别人。（该问题的提出，说明学生的思维向深层次转化，教师的支架搭建成功）
师：有没有更好的方法？
生D：我设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2这样周长变为原来两倍的同时，面积变为原来的4倍，列表如下 边长 周长 面积 原正方形 a 4a a2 新正方形 2a 8a 4a2 所以这样的正方形不存在。
师：你认为自己这样就有说服力了吗？
生D：是的。这里的a表示一切符合题意的数，既包括刚才同学的具体的例子，也包括同学们未举上的例子。所以我认为有说服力。（教师通过搭建系列问题支架，让学生思维不断碰撞，通过思维不断深层转化，让学生不断发现问题并提出深层问题，从而指向本节课的教学目标）
（掌声）
师：同学们!你同意D同学的观点吗？ 生：同意!
师：我很赞成D同学的做法，但是如果你刚开始想不到用字母，也可以先用具体的数据，然后再过渡到字母，这是咱们解决数学问题的一种方法，先具体再抽象，由特殊到一般。可以先从非常熟悉的简单数字开始，再慢慢的过渡到抽象的字母，从而让你的验证过程具有说服力。（通过学生的发现问题提出问题，让本节课的难点得以突破。教师及时引导，将方法进行提升。为后续的课堂探究活动提供方法支持。）还有其他方法吗？
生E：老师我还有一种解决方法，我用相似的知识来解决，世界上所有的正方形都相似，而相似图形的面积比等于周长比的平方，因此周长变为原来的两倍时，面积一定变为原来的4倍。所以周长和面积同时变为原来的两倍，这样的正方形是不存在的。
（掌声）（老师的课堂预设要及时到位，拓展学生思维，多种方法解决问题。） 师：E同学太聪明了，用非常简单的知识解决了问题，让我门心服口服！好！现在第一个问题解决了，大家意见一致，这样的正方形不存在！那么你能提出新的问题吗？（让学生类比老师的问题，提出新问题，既培养了学生的问题意识，又为本节课后续的探究提供主题。）
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生C：是否存在一个正方形，它的周长和面积同时变为原来的一半？ 生F：是否存在一个矩形， 它的周长和面积同时变为原来的2倍？ 生W：是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原来的一半？ 生O：是否存在一个菱形，它的周长和面积同时变为原来的3倍？ 生P：是否存在一个梯形，它的周长和面积同时变为原来的一半？ ??.
师：同学们太棒了，能提出问题就具有了一定的探究意识，现在咱们来选择其中一个做为今天的中心议题吧！选F同学提的问题吧！（顺水推舟，确定主题）
（二）中心议题：是否存在一个矩形， 它的周长和面积同时变为原来的2倍？（问题开放性大，放手学生分组探究，分组展示，便于学生在探究过程中发现问题，提出问题，解决问题）
师：有想法或解决问题思路的同学，请举手示意一下。 生1：我可以用刚才F同学提供的相似来做。 师：同学们同意吗？（及时引导学生发现问题）
生2：这种方法不行，并不是所有的矩形都相似。（学生自己解决了问题。） 生3：那么咱们应该怎么做呢？咱们应该如何探究这个问题呢？（学生的思维层次开始加深，问题有深度了。）
生4：从具体的数字开始！（学生自己解决了问题。）
师：说的非常好。下面各组给自己探究的矩形规定一个具体的长和宽。小组报数：第一组2和1 ; 第二组3和1 ; 第三组3和2;
第四组和1和2 ; 第五组3和2 ; 第六组2和1
师：各小组选的数据非常好，在研究具体数字的时候，数越简单越好，现在各小组成员先独立思考,再合作交流，探究一下你们研究的这个矩形是否存在一个新的矩形，它的周长和面积同时扩大为原来的两倍。（教师及时肯定学生的做法，给以鼓励引导。）
小组活动，教师巡视，发现有个别小组和个别同学无从下手。 教师参与这个小组的合作讨论，然后再次巡视指导。
（在巡视指导时对于较困难的小组及同学给以第一种方法的指导，巡视时，注意每一组的方法，是不是把老师需要的几种方法都涉及到了，若涉及不到，及时进行指导，以便在学生展示成果时，让学生有成功的体验。）
师：下面咱们请各小组选一各代表来展示小组的研究成果。 第一组：解：设新矩形的长为x，列表如下
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长 宽 周长 面积