原矩形 新矩形 2 1 6 12 2 4 x x－6 x（6－x）=4 , x2－6x+4=0 ,
b2－4ac=36-4×4×4 =36－16=20>0, ∴这个方程有解， ∴这样的矩形存在。
师：这种方法非常好，列表使人一目了然，还有其他的方法吗？ 仍然第一组：设新矩形的长为X、列表如下
原矩形 新矩形 （x＋4/x）·2=12,
长 2 宽 1 周长 6 12 面积 2 4 x x/4 x＋4/x=6, x2－6x＋4=0, 以下同第一种解法。
（若学生在展示时没有涉及这种方法，教师要给予补充）
师：这两种方法一样吗？（引导学生将知识归类，搭建支架，让学生发现问题） 生甲：不一样，方法一是用周长设未知数，面积为等量关系；而方法2是以面积设未知数，周长为等量关系，方法一列的是一元二次方程，而方法二是分式方法。
师：这两种方法都很好，同学们选择一下，哪一种在具体做题时不易出差错？（继续搭建支架，让学生发现问题）
生：方法一 师：为什么。
生：方法二还须检验，麻烦！
师：好，第一组的成果很好，而且他门有了一个肯定的结论，和他门方法一样并且也有肯定结论的举手，那方法不一样的继续展示。（培养学生进行方法最优化的选择）
第六组：设新矩形的长为x，宽为y，列表如下 原矩形 新矩形
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长 2 宽 1 周长 6 12 面积 2 4 x y
2(x＋y)=12
x·y=4
化简得 x＋y=6 ①
x·y=4 ② 由①得y=6－x ③ 把③代入② x·（6－x）=4, x2－6x＋4=0. 以下同方法一。
师：这个小组是用方程组来做的也很好，还有不同的方法吗？(不断为学生提供发现问题的空间，拓展学生思维)
第二组：设新矩形的长为x·宽为y，列表如下
原矩形 新矩形 长 3 宽 1 周长 8 16 面积 3 6 x y ?y??x?8,?x?y?8,?，∴?6 ?y?.xy?6.??x?图像如下：
两个图像有交点． ∴这样的矩形存在。
（若学生展示时没有涉及这种方法，教师可视时间情况给予补充）
师：这个小组的方法太巧妙了，把咱门学过的一次函数的图象及反比例函数的图象结合在一起解决今天的探究问题，提出表扬，给以掌声鼓励。现在咱们将这几种方法进行比较，有共同点吗？ （为学生搭建发现三种方法异同点的支架，让学生自我进行最优化选择。）
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生乙：在前三种方法中，最后都出现了一元二次方程X2－6X＋4=0
所以虽然方法都很好，但方法二和方法三是列分式方程及二元方程组后得到的一元二次方程，不如第一种方法直接得到一元二次方程好。最后一种方法在实际操作时，出现误差的可能性很大，虽然好，但具体研究时不太可取！（学生自己发现了三种方法的异同点，并进行了分析，进行了方法最优化的选择，揭示了数学知识之间的内在联系，自己发现了问题，分析了问题，解决了问题，能力得以提升。）
师：大家认同他的观点吗？ 生：认同
师：现在大家达成共识第一种方法好。咱们继续这节课的探究，刚才大家都给自己的研究一个肯定的结论，这样就可以给咱们的中心议题一个肯定的结论吗？（此处教学问题的设计，旨在引导学生发现不能用特殊代替一般的问题。）
生：不行
师：那再怎么办？
生丙：由特殊到一般，由具体的数字到抽象的字母。（学生的思维层次已经得以提升，提出的解决问题方案符合数学问题研究的规律）
师：说的好，再给你探究的矩形一个长和宽，咱门先让长和宽其中一个为字母。 小组报数：第一组n和1 第二组m和1 第三组1和a 第四组1和b 第五组m和2 第六组a和1
师：好，现在小组开始探究，再提醒一下，用哪一种方法又快又准确。 生：第一种！
小组合作，教师参与其中。 成果展示
第三组：设新矩形的长为X，列表如下
原矩形 新矩形 长 1 宽 周长 2＋2a 4＋4a 面积 a 2＋2a－x a 2a x x(2＋2a－x)=2a x2－(2＋2a)x＋2a=0
a=1 ,b=－(2＋2a),c=2a
b2－4ac=－(2＋2a)2－4·1·2a =1＋8a＋4a2－8a
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=4＋4a2>0 ∴这个方程有解, ∴这样的矩形存在.
师：第三组的同学做的非常好，他门验证了一元二次方程根的判别式发现△>0 从而确定此方程有解，从而确定可以求得合适的X即合适的长，从而此矩形存在，下面咱们请第五组的同学上来展示。
第五组：设新矩形的长为x 列表如下
原矩形 新矩形 长 宽 2 2m＋4－x 周长 2m＋4 4m＋8 面积 2m 4m m x x·（2m＋4－x）=4m x2－（2m＋4）x＋4m=0 a=1 , b=－(2m＋4) , c=4m b2－4ac=(2m＋4)2－4·1·4m =4m2＋16m＋16－16m =4m2＋16>0 ∴此方程有解 ∴这样的矩形存在。
师：这两组同学都对自己探究的问题给出了肯定的结论，那么其他组呢？ 生：存在
师：刚才咱们探究了长和宽其中有一个为字母的情况，同学们都认为这样的矩形存在，那么现在给中心议题一个肯定的结论，大家觉得有问题吗？（不断为学生发现问题搭建支架，教学设计引导学生层层深入，促进了学生对本节课核心知识的深入理解）
生甲：不行，要探究长和宽都为字母的情况！（学生自己发现问题，并给出解决问题的方案）
师：好，下面咱门再给矩形规定长为m，宽为n，全体同学一起探究这个问题，看看是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原矩形的两倍。
教师巡视学生的探究过程。 师：这样的矩形存在吗？ 生：存在！
师：请B同学来展示一下探究成果 同学：解设新矩形的长为x，列表如下
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原矩形 新矩形 长 宽 周长 2m＋2n 4m＋4n 面积 m x n 2m＋2n－x mn 2mn x·(2m＋2n－x)=2mn, x2－（2m＋2n）x＋2mn=0, a=1,b=－(2m＋2n),c=2mn,
b2－4ac=－(2m＋2n)2－4×1×2mn =4m2＋8mn＋4n2－8mn =4m2＋4n2>0. ∴这个方程有解, ∴这样的矩形存在.
师：同学们。你有成就感吗？ 生：有
师：什么成就？
生F：我现在可以给中心议题一个肯定的结论了这样的矩形存在，无论给定一个什么样的矩形，我都能找到一个新的矩形，使它的周长和面积同时变为原矩形的两倍。（学生通过老师层层搭建的问题支架，从发现问题入手，始终遵循研究数学问题的规律方法，解决了一个学生自己提出深层次的探究问题，学生的发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力得以提升。）
(全体同学掌声) （三）、感悟与收获
师：同学们，这一节课大家非常投入，用自己的辛劳与努力，猜想并证明了一个问题，在探究的过程中，你有哪些收获？
生I：我亲身体验了探究的过程，知道了探究一个问题时应该先具体再抽象，先特殊再一般。同时，我们要敢于质疑，敢于提出问题，发现问题。
生C：在解决一个问题时，我们应该动脑筋，想出更多的方法，并且要注意具体实施时，所有的方法要择优录取。
生M：数学知识之间是有联系的，如同一个问题可以直接用一元一次方程解，也可以列二元方程且转化为一元二次方程解，也可以列分式方程转化为一元二次方程解，也可以用函数图象求解。
生N：判断一个问题时不能以点代面，应看它的全部。
师：同学们说的非常好，老师也有收获，通过这一节课的学习，我再次发现了同学
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