②、自己花了时间、花了心力才解决的问题，应该加以反思，反思“究
竟是什么方法？”、“究竟是什么信息？”、“究竟是什么刺激？”、“究竟是什么念头？”??让自己联想到了最终的这个解法的？
③、受了别人的启发、点拨后才恍然大悟的问题；
或者自己看了答案提示后才悟出解法的问题； 或者看完了别人的解法而产生认同感的问题；
（??还有你自认为有必要的问题），像这些情况下的问题更应该去加以反思，反思“究竟是什么方法？”、“究竟是什么信息？”、“究竟是什么刺激？”、“究竟是什么念头？”??能让他联想出最终的那个解法呢？
下面给初三学生提供一个数学思维训练题：
(2014年湖北咸宁)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的
坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）． （1）∠PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）； （2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
请同学们认真探索、综合分析，尽力破题。在本文的下一篇幅笔者将为读者呈现本题的各种解法探索的心路历程。
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2015年10月
第一部分：甲同学的解法探索心路历程
〈甲同学把自己的思维用语言表述如下〉： 一、甲同学对第（1）小题的分析：
我的直观感受是∠PBD＝45°，但显然这种感觉不一定正确。为了证明∠PBD＝45°，因为已经有∠BPD＝90°，所以我该尝试去证明PB＝PD？
怎样证明PB＝PD呢？这是证明“两线段相等”的问题嘛！关于这个问题，我头脑中有哪些方法蓄势待发？对于“一”字长蛇型，可考虑作线段和差去证明；对于“V”字型，可考虑用等腰三角形的判定方法去证明；对于其他结构，可考虑用“特殊图形中的特殊线段相等”去证明，如平行四边形的对边相等，矩形的对角线相等??当然更多的情况下要考虑“全等法” 或“相似法”。
结合图形，我会优先尝试去证明△BAP≌△PQD？但全等的三个条件容易找到吗？当我把注意力集中到图上的△BAP和△PQD时，我突然看出了一个基本图形——弦图！或该称呼其为：三垂直组合图形！它凸显于我的眼前，如图（a），在我记忆的知识仓库中，关于“弦图”我有这样的联想：
首先这个图形的已知条件是两个垂直关系：BA⊥AQ于A，DQ⊥AQ于Q.可以得到的结论是：
第一：当△BPD是等腰直角三角
B 形时，我们容易证明到△BAP≌△PQD；
第二：当△BPD是直角三角形时，D 我们只能证明到△BAP∽△PQD；
第三：当△BAP≌△PQD时，我们容易证明出△BPD一定是等腰直角三角形； P A Q
第四：当△BAP∽△PQD时，我们只图（a） 能证明出△BPD是直角三角形；
在考场上，我当然不会如此细致地回忆以上结论，我的精力自然集中在我想完成的任务上。怎样去证明△BAP≌△PQD呢？现在已经有：∠BAP＝∠PQD＝90°，再加上“∠BPD＝90°”这个已知条件，容易得到：∠ABP＝∠QPD，接下来肯定要再去寻找一个“边相等”的条件来为证明全等服务。这个条件显然不能是：BP＝DP，而只能是：BA＝PQ或AP＝DQ，哪一个容易搞到手呢？显然我该回到已知条件中去重新捕捉信息了！
题目中说“点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．”
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所以，假设运动时间为t，则在图（1）中，动点P的运动路程：AP＝t，动点
Q的运动路程：OQ＝t，显然有PQ＝AO＝BA.这样一来，我就能成功证明出：△BAP≌△PQD了！
舔嘴微笑吧！根据全等三角形的对应边相等，可得：BP＝DP，于是∠PBD＝45°,哈哈！也可得： DQ＝AP＝t，于是点D的坐标是（t，t），第（1）题探索完毕！
甲同学自言自语：如果非要让我写出解题过程！那么请看： 二、甲同学第（1）小题的解题书写： 〈严格版〉：
解：（1）如图1，
由题可得：AP=OQ=1×t = t（秒） ∴AO=PQ．
∵四边形OABC是正方形， ∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°． ∵DP⊥BP， ∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ． ∴AP=DQ，BP=PD． ∵AO=PQ，AO=AB， ∵∠BPD=90°，BP=PD， ∴AB=PQ． ∴∠PBD=∠PDB=45°． 在△BAP和△PQD中， ∵AP=t.
∴DQ= t.
∴点D坐标为（t，t）
∴△BAP≌△PQD． 故答案为：45°，（t，t）．
〈灵活版〉：
解：AP＝t，OQ＝t，∴PQ＝BA，从而易证△BAP≌△PQD. ∴BP=PD，则∠PBD=∠PDB=45°
DQ= AP= t，则点D坐标为（t，t）．
〈反思与领悟〉：笔者认为解题书写怎样才算灵活适度的问题，实际上就是“怎样书写，才既简单，又能拿满分！”的问题。我想，这与该大题本身的难度有关，也与该大题在试卷中所处的位置有关。另外，还要揣摩命题人的意图，看他是重点想考查你的解答结果，还是重点想考查你的解题书写，这些与个人的感觉和平时的考试实践有关，当然还取决于平时善于把自己的解题书写与老师的解题书写进行对比。
三、甲同学对第（2）小题的分析： 当t为何值时，△PBE为等腰三角形？我觉得△PBE为等腰三角形可分为三种情况：
第一种：若PE为底边，则腰BP= BE； 第二种：若BE为底边，则腰BP= EP； 第三种：若BP为底边，则腰EP= BE；
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接下来，显然要逐一破之。在第一种情况中，怎样求t值呢？显然（笔者插进一句话：为什么是“显然”，而不是“可以”呢？可见甲同学在这里还没有意识到其它的东西！）要由“BP= BE”去建立一个含未知数t的方程，然后解方程就OK了！
〈反思与疑问〉：笔者也赞同这种思路，但笔者更懂得，这个即将被构造出来方程，如果是“一元一次方程”或“一元二次方程”尚好，但如果是“一元三次、四次方程”就麻烦了!并且如果真撞到了那个节骨眼上，考生又该怎样去应对？怎样去反思才好呢？笔者有一条建议是：思路过程感到难，别钻牛角死向前，评价思路早推断，前进倒车容易选！
甲同学的思维继续流淌：
第一种情况，怎样由BP= BE来建立关于t的方程呢？哦！对了，在Rt△BAP中，由AP2?AB2?BP2可得：BP?42?t2，同样可得：BE?BC2?CE2，但关键是不知道CE等于多少？所以接下来的任务是：求CE的长！CE与谁相等呢？不好说明！显然CE =CO－OE，但OE又不知道等于多少？所以要看看能否求出点E的坐标？
点E是怎样产生的呢？对了，它是直线BD与y轴的交点！那么不禁就要自问“直线BD的表达式，知道吗？”哇！已知点B坐标是（﹣4，4），已求点D坐标是（t，t），那么直线BD的表达式不就可以用“待定系数法”来获取了吗？ 于是，设直线BD表达式为：y?kx?b，把点B（﹣4，
4）代入表达式得：－4k?b?4?①，把点D（t，t）代入表达式得：tk?b?t?②，由①、②组成方程组解得：
t－48tk?，b?，终于求得直线BD表达式为：
t?4t?4t－48ty?x?，真是可恶，这个表达式怪吓人的！我
t?4t?4隐约地预感到前路阴云密布（这里笔者仿佛有话要说，但以后再议）。
8t知道了直线BD表达式后，立即可得点E坐标为：（0，），从而可得：
t?4OE?8t8t，∵t是正数，∴OE?，继而可得：CE =CO－OE=4－
t?4t?428t16－4t?16－4t??，凶啊！这样一来，BE?42???. t?4t?4t?4???16－4t?于是由BP= BE来建立的关于t的方程是：4?t?4???，我要自
?t?4?2222问，我的阶段小任务是什么？当然是求t，天啊！这究竟是什么解题思路啊？我居然造出了一个我们压根儿就没有学过的“无理方程”！怎么会如此倒霉啊？莫非是我前面的计算出错了？可我已经检查过，我确信计算没错！难道是我的解题
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思路有问题？可是我又实在看不出有什么问题啊！岂不是命题人疏远教材，使试题超出了教材的知识点范围？不会吧！怎么可能呢！中考试题的命制，那可是经过层层把关的呀！如此看来我不知所措，只能硬着头皮往下解了！
我想，一个无理方程的主要矛盾是未知数出现在“根号”里面，如果没有根号就好办了，那么怎样才能依据“恒等变化”来消去“根号”呢？对了，可以在方程两边同时平方啊！例如：已知x2－3x?2，求x的值.
解：两边平方得：x2－3x?4，即：x2－3x－4?0，解得：x1?4，x2?－1. 当x1?4时，被开放数：x2－3x?42－3?4?4＞0，合题. 当x2?－1时，被开放数：x2－3x??－1?－3??－1??4＞0，合题.
2∴x1?4，x2?－1
x2－3x＜0的x都应该被淘汰！甲同学心理想：我当然会注意到凡是使被开放数： ?16－4t?言归正传，怎样解方程：42?t2?42???？
t?4??22????16－4t16－4t两边平方得：16?t2?16?，即：t2?2?t?4??t?4?22??式
甲同学心里盘算，汇聚一下此处的矛盾有二：一是分式方程，二是高次方程！怎样转化这两个矛盾呢？一是去分母，二是降次！预感到把?式化简后，次数依然会很高，甲同学感到前路昏暗无望，但他还是机械地硬着头皮往下解： 在?式两边同乘以：?t?4?得：t2t2?8t?16??16－4t?
22??－128t?16t2 即：t4?8t3?16t2?256化简得：t4?8t3?128t－256?0???式
瞧瞧吧！这是一个多么高傲的的方程啊！可是甲同学仍准备“降次”破之，
迷途不返，决心要硬着头皮，视死冲破牛角！（笔者插一嘴，你有一种“困于无法求有法”的解题精神，精神可嘉！但又何苦呢？这是考试，又不是平时练兵！有必要死缠烂打吗？）
〈反思与评价〉：在解题的过程中，如果自己推演出了形如“??式”这样的“怪物”，那么应该推断此怪之成因，要么是因为自己的运算出错所致，要么是因为自己的思路没有进入康道所致，一般情况下，绝不会是因为命题超出教材知识点所致。如欲强行破之，则往往得不偿失，需知此等怪物如嗜血猛虎，它会在不知不觉中吞噬你的时间和心力。这种时候，需要一个人自己去左右权衡，作出
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