?8（果然是定值，但尚待进一步验证！）
－22?8?2?16?式??（Ⅱ）、当t?2时，2?4 ?8?2??4－2?2????
2?4??228400 ?636 ?8（哇！还是8，心好跳！但万一仍是一种巧合呢？）
－32?8?3?16?式??（Ⅲ）、当t?3时，3?4 ?8?3??4－3?????
3?4??2231625 ?749 ?8（嗯！仍是8，心已冷静！若你此时告诉我这仍是巧合，
你认为我会相信吗？我的心已经被它勾走了！）
了吧！（Ⅳ）、当t?4时，我想已经没有必要
甲同学想，接下来我要做的事情应该是满怀信心地对
－t2?8t?16?“
t?4?4－t?2?8t???，展开恒等化简，尽管这个“怪兽???式”?t?4?2?式” 在“知识点”上超越了教材的范围，但从“数学思维”上来讲，还是有
些“合情理”的。我们可以试着利用公式“a2?a?？” 来探索根号的化简。
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－t2?8t?16?t?4－t2?8t?16??t?4－t2?8t?16??t?4－t2?8t?16??t?4?4－t?2?8t??????式t?4??2??4－t??t?4??2?64t2?t?4?2?t?4?2?256?t－32t??64t422?t?4?2?t2?16?2?t?4?2－t2?8t?16t2?16??t?4t?4－t2?8t?16t2?16t2?16??，（因为t大于0，所以大于0）t?4t?4t?48t?32?t?4
?8??解毕!〈反思、评价、感悟〉：到此，甲同学已经胜利解完本题。但读者要理解并记住：尽管甲同学斩获了本题的满分，但如果他全卷总分没有在135分以上，那么他将被判为“隐形失分”！也就是说：甲同学在明知自己的思路没有走上“康道、便道”的情况下，尤其在其它更简单的问题还没有解决的情况下，为这道题“死磕”是不明智的！是愚蠢的！什么叫“舍得”？有舍，方才有得。考试不是在比拼看谁把难题做对，而是比看谁拿到的分数多。所以，在考场上分数才是为人之王道！而在平时的厉兵中难题方显秣马之正道，但要理解真正的“难题”并非难在计算上，而是难在思维上，即你要能想的到那个点子（念头）上才行！如果你没有成功破题，那么在事后的解题反思中，你要尽量去揣摩其中的技巧，说服自己理解之、内化之，好让那个“点子”成为你以后解题思维自然流露的一部分。在这里笔者要郑重地说：数学解题纵然需要、也肯定需要有一种“困于无法求有法”的精神，但更需要有一种“莫止有法探通法”的习惯，尤其需要有一种“不满通法寻易法”的心眼，这样方能“操持易法化技艺，优术熟技深谋略”。解题思维的自然流露要倾向于秉持正道、康道，扬弃畸形之道、回避崎岖之道。
第二部分：乙同学的解法探索心路历程
〈乙同学把自己的思维用语言表述如下〉：
一、乙同学对第（1）小题的分析及解题书写： 嘻嘻！我的心路历程与甲同学相同。 哈哈！我的解题书写与甲同学相同。
二、乙同学对第（2）小题的分析及解题书写： 当t为何值时，△PBE为等腰三角形？ 解：△PBE为等腰三角形可分为三种情况：
第一种：若PE为底边，则腰BP= BE；
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第二种：若BE为底边，则腰BP= EP； 第三种：若BP为底边，则腰EP= BE；
（Ⅰ）、当BP= BE时：?BAP≌?BCE?CE?AP，∴OE?OP
再由点B（﹣4，4）和点D（t，t）可求得直线BD表达式为：
8tt－48tx?，从而知点E坐标为：（0，）
t?4t?4t?48t∴OE?，AP?t，OP = 4－t
t?48t?4－t?t2?8t－16?0?t?－4?42 ∴
t?4y?又∵0?t?4，∴t?42－（合题）； 4（Ⅱ）、当BP= EP时：容易得到：EP=BP= DP，如此可得：点B、E、D三点在以点P为圆心的圆上，显然不合题； （Ⅲ）、当EP= BE时：点E必在线段BP的中垂线上，又∵DP⊥BP， ∴BP的中垂线必平行于DP，于是可推断此时的点E必为BD的中点，
－4?t4?t又由点B（﹣4，4）和点D（t，t）易求得BD中点坐标为（，）
22－4?t?0?t?4； 又由点E在y轴上可知：
2综合以上三种情况可知：当t?42－1t或t?4时，?BPE是等腰三角形。
三、乙同学对第（3）小题的分析：
??（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
怎样求△POE的周长呢？乙同学的思维开始流淌：
8t已经有：OP?4－t，OE?，PE?t?4?4－t?2?8t????
t?4??2又已知：0?t?4，但其中OP?OE?PE的结果是定值吗？
哦！对了，在整个运动过程中，t?4的这一瞬间是一个特殊情况，可否抓
出来研究一下呢？也许对探索活动
有所启发呐！
让我先把这一瞬间的照片画L Y 在草稿纸上，若图（b）：
B C (E) D 这简直太直观了，一看就知道
8. 此时?POE的周长无限接近于也就是说，
?POE的周长貌似为定值8，
A O (P) (Q) X 图（b）
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这增强了我的信心。 但我能否将：
8t4－t??t?4?4－t?2?8t????
t?4??22－t2?8t?16?即：
t?4?4－t??8t??????式，进行强行化简呢？ ?t?4?2乙同学心里想：要强行化简“?式”，这显然超越了教材的知识点范围，所以我推断若继续走下去，前面一定是一段崎岖之路。我还记得：思路过程感到难，别钻牛角死向前，评价思路早推断，前进倒车容易选！看来在这个节骨眼上，我应该迷途知返，放下当前的思路，试着从其它的角度来考虑一下。
像这类“是否为定值”的问题，其结局一般来说都是定值，所以我姑且承认：
?POE的周长为定值8，但怎样去证明呢？
乙同学，一边想，一边念，从图（b）来看：
如果正方形ABCO的边长为4，那么?POE的周长就无限接近8， 如果正方形ABCO的边长为5，那么?POE的周长就无限接近10，
显然图（b）能直观地反映出：?POE的周长就无限接近??正方形ABCO的边长的2倍。
那么，我能否直接去证明或计算出：在点P到达O点之前，?POE的周长恒为8呢？
然而，点P到达O点之前的情景，其图形该怎样来画呢？显然可以就用图1：
欲证明?POE的周长等于正方形ABCO的边长的2倍，
即需证PE等于AP与CE之和； 欲证明PE?AP?CE，
这显然是一个线段和差问题，可以尝试截长补短法！
于是我想到延长PA到F，使FA?CE，然后尝试去证明PF?PE即可！
作如图2，哦！对了，我知道怎样去证明：PF?PE了！
三、乙同学对第（3）小题的解答书写：
8，理由如下： 解：我认为在运动过程中，?POE的周长始终为定值
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延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF 在△FAB和△ECB中，
∴△FAB≌△ECB．（SAS） ∴FB=EB，∠FBA=∠EBC． ∵∠EBP=45°，∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°=∠EBP． 在△FBP和△EBP中，
∴△FBP≌△EBP．（SAS） ∴FP=EP．
PO?PE?OE ∴?POE的周长为：?PO?PF?OE
?PO?(AP?AF)?OE ?（PO?AP）?（AF?OE） ?OA?OC ?8
〈反思与评价〉：以第（3）小题的探索过程而言，甲、乙两位同学的心路历程非常精彩，其思维具有相当的典型性和实用性。表现在以下方面：
－t2?8t?16?（一）、由于考虑到对“
t?4?4－t?2?8t??????式”的强行?t?4?2化简，已经超越了教材知识点的范围，乙同学果断放弃了对“?式”化简的尝试，这是一种“改邪归正、弃暗投明”的思路，为促使解题思路进入“正道、康道”创造了心理前提。尽管笔者深信乙同学完全有能力通过“a2?a?？”来强行将“?式”化简为定值8，但是笔者仍倾向于赞同乙同学的“弃暗投明”。可见，乙同学对自我解题思路的评价过程既有典型代表性，又有普遍实用性。
?POE的周长究竟为何定值时？（二）、乙同学在思考用到了一种很好的思维
策略?“特殊化法”或说成“特殊情景法，特殊状态法”。对于一个会运动变化的图形，其中的某一种特殊状态，或许更易自然呈现出、或许更易让人洞察出问题的本质性的东西，从而为我们研究一般性状态提供直觉和念头。在前文中，乙同学借助“极限法”的思想在“特殊状态” ?图（b）中洞见出?POE的周长等
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