处身平时，尤其是对于一个优生（渴望高效解题的人）来说，特别是对于一个教师（有心澄清认知的人）来说，至于对一个解题研究者（有意描绘心思的人）而言就更不别说，他们都应该静下心来，理智地反思“异物”。在解题路上，虽然解题者有时能轻驾“异物”作“跳板”，从而顺利、快速破题，但大凡“异物”之萌生皆由本心（定势思维）所造，究其缘由大多是思路没有步入“正道、康道”所致。未涉入光明、康健之路，感染异物，遭遇怪兽，皆乃咎由自取。这话说得怪吓人的，但实话实说，考场上就是不缺死钻牛角，不愿倒车的“倔强蛮牛”，考场外就是不乏死磕怪兽，决意厮杀的“绝地武士”。殊不知，退一步海阔天空，尽管“条条道路通罗马”，但那“畸形之路”、“崎岖之路”怎比美这至理大道所照耀的“光明之路”、“康庄之路”呢？但如果有读者感叹曰“体验畸路可正心，偶走崎岖见险峰”，那么，那就是另一番学问了！
（四）、有一种“回心转意”的乙，会蜕变成“数形贯通”的丙。回顾一下
情况：EP?EB?点E一定在乙同学的思路：由?PBE为等腰三角形的第三种BP的中垂线上，又因为凑巧这条中垂线刚好与PD平行，所以?点E必为BD的中点。由于乙同学偶然性地恰好精于“飞升技能”——中点坐标公式，因此他顺势、顺利破题。但如果乙同学压根就不知道世界上有中点坐标公式，那么他又该怎样去求点E的坐标呢？如果他精于思维之术，他去构造了一个以BD为“斜腰”的直角梯形，而后他利用“三角形的中位线定理”求得了中点E的坐标，胜得出路！但这种“精”是一个“优生”才能爆发出来的素质，一般人等只能“望尘莫及”，就连吾等教师也不敢自夸能“全心驾驭”，因此这种“异物”给我们的启示是：感觉怪怪的，这会是命题者的意图吗？如果这真是命题者的意图，那么这道题未免也太节外生枝了！如果命题者单独命这样一道题：在平面直角坐标系中，已知点B坐标为（﹣4，4），点D坐标为（t，t），试求BD中点E的坐标？那么像这样一道题，我们尚且可以接受，并按照构造“直角梯形”的思路去投石问路。但命题者如果有意在一道大题中安插这样一个涉及“飞升技能”的小插曲，那么如此“满肚坏水”、刁难考生，未免也就太不文雅，定遭唾沫。通过如此一番反思“异物”，解题者更情愿相信自身的思维没有进入“康道”。
让我们来试想一下，乙同学反思“异物”后，他理智地沿着原思路： “EP?EB?点E一定在BP的中垂线上?可证：点E是BD的中点?我有办法快速求获点E的坐标（这是解题者基于他的“飞升技能”所催生的思路）”往后倒退，当他退到“EP?EB”这一结点后，他有意留心图上的“图形结构”，哦！既然已证：∠BPE=45°，?那么，此刻的∠EPB也应该等于45°，?从而
Rt?，?于是可证：?POE≌?ECB，经∠BEP=90°?于是?EBP会成为一个等腰继续思量，他的脸上露出了诡异的微笑。实践证明：丙同学经“倒车搜捕”，在
“EP?EB”这个结点处发现了先前未被关注的支流，没有料到这恰恰是一条主流渠道。可见，树立“几何直观”的意识，更多地关注图上的“几何结构”能让人透过抽象之“数”，洞见生动之“形”，我看这更接近命题者的意图吧！倘若你会说：去去去！只要考生能顺利、快速把分数拿到手，我还管他什么意图不意图？
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那么我也就只能答：哎！其实我也与你一样。但作为教育者，我只想弱弱地叫一声：揣摩命题者那些“令人敬畏”的命题意图，能让我们感受出数学教育的方向！
（五）、关于甲、乙二位同学对于第（2）小题的第③种情况的解法来看，甲同学的“执迷不悟” 显然是笔者有意安排的，但乙同学的解法却是普遍地真实存在的“实战解法”。可怜甲同学，被笔者强行“升级”，他固执而艰辛地走完了自己的“崎岖之道”，此种解题精神可敬仰却不可效仿，所以甲同学如此解题稍显愚钝，全在他一心只关注于“数”，而没有留意到“形”，从而才无缘得见“丙氏”巧法。乙同学的解法较为顺手，这得益于他本人的恰巧能派上用场的某一“飞升技能”，其间多少含有点运气的因素。所以我们应该推崇“丙氏”巧法，树立“数形结合”的意识，培养“数形渗透”的理念，此乃至理大“道”中的“正道、康道”。华罗庚说“数缺形，少直观，形无数，难入微”。可见，数与形，宜相互渗透，尤其在平面直角坐标系中，解题者若能留心撮合二者，则易瞧见比翼之美，睹尽翩翩舞姿。
（六）、从甲、乙二位同学的探索思路来看，第（3）小题无疑是难题，但若从丙同学的探索思路来看，第（3）小题陡然化难为易，成为小事儿一桩，或者说此时的丙同学压根儿就没有经历过一个“化”难为易的过程，他不费心机就自然、轻快地联想到了第（3）小题的解法，为什么呢？因为他的思路进入了“康道”（更确切地说是进入了康道中的便道）。我们容易感受到，在丙同学的解法中，最关键的一步是“对第（2）小题的第①种情况的构思”，这种构思对整个后续解题起到了功不可没的推进作用。
（七）、作为一个想从这道中考题的身上“榨取油水”的解题者来讲，作为一个经常怀揣“做题，不可白做”之心思的同学来讲，作为一个希望从一道典型题的身上获取“解题经验和思维体验”的同学来讲，作为一个相信能通过解题来“不断丰富和重组自我认知结构”的解题者来讲，作为一个倾向于“坚信任何人都可以通过不断学习来成长”的成长型思维之个体来讲，他们都不禁要问一句话，题目中的那个“关键的一步”，我是怎样想到的？如果我没有想到，那么他又是怎么想到的？如果他本人又不在我身边，那么我只能试着去揣摩他的心思，把那个“关键的一步”进行合理化，尽量说服自己，将那个“心思”内化、重组到自我的认知结构中，让它成为“新我”的解题思维自然流露的一部分。
（八）、丙同学的那个“关键的一步”是什么？答：是延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF。当然这样的“辅线操作”只是这个“关键”的表象，而其实质则是要通过构造“△FAB≌△ECB”来得到“△FBP≌△EBP”的思维需求！丙同学又是怎样想到这个“关键的一步”呢？答：是思维的偶然性与必然性的交合！
何以能出“偶然”之言呢？
△PBE为等腰三角形，第一种情况是：BP=BE，三位同学对这一出发点的后续联想的“停顿之处”就体现了“各自的偶然性”，不妨直接用“甲、乙、丙”来分别表示三位同学“当时”的想法，而且实际上，这三个同学“各自的偶然想法”随时都会变成另一同学在“其它时段、其它情况下解本题时”的偶发性联想，
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即可以用“甲?甲、”这样来符号，甲?乙、甲?丙；乙?甲、乙?乙、乙?丙；丙?甲、丙?乙、丙?丙；来分别表示这三位同学在“新环境中”解题的联想偶然性，其中“甲?甲”表示：甲同学在新环境中解题时仍然沿袭了他本人旧有的思路； “甲?乙” 表示：甲同学在新环境中解题时偶然联想到了乙先前用过的思路；其它符号同理释之。
现在不妨来揣摩一下三位同学的心思： 甲同学一边念着“BP=BE”，一边看着图形，他的注意力“停顿在勾股定理上”，他由BP?PE? BP2?PE2，然后他又联想到：AB2?AP2?BC2?CE2 ，在这里，甲同学看到了“求出点E的坐标” 是一个关键的步骤，他觉得自己能够用待定系数法求获点E的坐标，于是他的脸上露出了诡异的微笑（笔者也同意自己的思路可能与他相合！），接着便发生了后面应该发生的事。
乙同学看着：BP=BE，他联想到可以证明：△BAP≌△BCE，而后其注意力“停顿在AP=CE或OP=OE上”，接着便看出“求点E的坐标”是一个“关键的步骤”，当时的他知道自己能够胜任用“待定系数法”去捕捉点E的坐标（相信此思路也容易引发读者的共鸣吧！），从而思路洞开，于是才有了后面的话题。
丙同学由“△BAP≌△BCE”看出AP=CE，而后联想到：OP=OE，然后其注意力“停留在PE=（4－t）上”，接着其思维貌似受阻，“多半”会停顿一番??在这个节骨眼上，他若往后退，则很可能进入乙同学的思路，但显然这里丙同学的思维还在继续向前流淌。
此情此景中的“OP=OE”对于乙、丙两位同学而言，它是解题思路的“分水岭”，它引发了解题者后续思路的不同走向的“偶然性”。你看，乙同学的念头是：通过捕捉点E的坐标来构建t的方程，从而揪出t的值，所以“如何去捕捉点E的坐标”成为乙同学后续思维的“关键步骤”。你再看，丙同学的念头是：由OP=OE先得到PE=（4－t），然后自然产生了（还需要用“含t的另外一个代数式”来把PE表示出来的）思维需求，所以“如何去俘获PE的另一种表示式”成为丙同学后续思维的“关键步骤”。
可见，解题思路中的“某些关键步骤”的产生具有偶然性，它们缘起于不同的解题念头，受制于不同的解题理念，这些念头和理念会在“不知不觉”中把一个解题者的思路引领到不同的岔道上，是故解题思维颇具“偶然性”。
那又何出“必然”之言呢？
丙同学又是怎样想到?要通过构造“△FAB≌△ECB”来得到
“△FBP≌△EBP”之思维需求的？答：既然已经点明它是一种思维需求，那么它就是一种可以真切感受到的心理需求，这种心理需求一旦被丙同学感受到了，甚至被它强烈地感受到了，那么对他本人而言，他像那样去进行“辅线设计”，当然就具有其中的“必然性”。那么，不禁又要追问，丙同学又是靠什么让他感
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受到那种心理需求的？是什么东西在怂恿他产生“如此辅线设计”的冲动？答：这个，我就不好揣摩了！嘿嘿！是必然性！哎??还是必然性！麻油！究竟是啥子必然性？卖你个球关子啊！（诸公！我没有卖关子，我也没有笑，压根儿就笑不起来，我在思考，我在思索，我在费心驾驭那狂蹦乱跳的野马，等它安静，我在内视那漫天飞舞的思绪，等它沉淀，我在倾听那浑浊荡漾的念头，等它澄清??）对了，也许是一种精于思维之术而铸就的必然性，亦或（我更倾向于揣摩），那是一种熟于经验之技而催生的必然性。
如果说是“精于思维之术”，那么，我们不得不假设丙同学是第一次做这道题，甚至要假设他在此之前没有体验过与此“相同的”的辅线设计。在这样的陌生环境中，容我来糊乱地揣摩一番：丙同学想，目前已经有：PE=（4－t），另外，PE具体等于多少？或说PE又可以用什么t来表示？我又实在看不出来。在这个节骨眼上，我应该在图中去“寻找”一条与PE相等的线段，然后看它等于多少？或者看它可以如何用含t的代数式来表示，然而我也没有发现这样的“中介线段”。接下来，我可以试着在图中去“构造”一条与PE相等的线段，而后看看它等于什么？
有了这种要构造“新线段”的思维需求后，各种尝试便相继展开，能否尝试成功，要讲运气，这就太具有偶然性了。但辅助线的尝试显然不是糊乱地随机拼凑，全靠运气来取得成功，倘若真靠随机尝试，那考场上的120分钟够你挥霍吗？倘若辅线设计真的是随机拼凑，那么何以去培养学生“由心而发”的创造性？那么何以去佐证辅线设计乃“由境、应需构造”一说？
丙同学凝视着图1，念着∠EBP=45°，他知道∠ABP+∠EBC=45°=∠EBP，在这里，突然（这真的太有偶然性了）他想到了将∠ABP和∠EBC拼到一起的念头，随之一个直观的但还未画出的图形在他的脑海中掠过，他朦胧地直觉到其中好像有新的“全等三角形”要诞生，而这些三角似乎与PE有关！接着，丙同学拿着铅笔在正方形ABCO外，勾画了∠FAB，使它等于∠EBC，而点F则矗立在PA的延长线上，他稍作思量，哇！成功了！我成功了！我真的成功了！眼眶泛着泪光??天??啊！我的PF啊！我苦苦追寻的“梦想”，你原来就倚靠 在这灯火阑珊的地方，显得如此璀璨夺目，与身旁那“渐远渐近”的PE交相辉映。PF！你是吾之所爱，你存在，我深深的脑海里，在我梦里，在我心里，在我纷飞的思绪和偶发的念头里。哭吧，泪水已模糊我的双眼，哽咽了，热泪盈眶，这是一个人由心而发的创造性。生命中，能有幸体验到这种创造力，这是老天对一个追梦人的最佳馈赠，他让你体验一段无以复加的幸福！他让你感受一段与美同在的时光！这是由心创造与偶发念头的交合，一种交相辉映的相互渗透，创造性伴随偶发念头由心而发，但其间难道就没有任何必然性吗？非也，倘若
∠ABP+∠EBC≠∠EBP，谁会无聊得将它们进行拼合？笔者认为，解题者的注意力如果停留到“∠ABP+∠EBC=∠EBP”这个“潜在的关键点”上，那么“图2”的辅线设计便具有了合乎情理的“必然性”，由此印证了辅线设计乃“由境、应需构造”一说。
笔者深深地感受到这种精于思维之术而铸就的必然性，它太让人深受震撼，它唤起了我们的数学创造，但它也太让人深感惧怕，它令我们总担心自己望尘莫
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及。这种精于思维之术而铸就的“必然性”在那水天相接的心灵远方渗透着妙不可言的“偶然性”，宛若“落霞与孤鹜齐飞”，俨然“秋水共长天一色”。是的，心灵总在远方，在那伸手遥不可及，举目不容明视的地方，但那却是，我们骑乘天马可以企及的地方，那是我们思绪荡漾如落霞，念头纷飞如孤鹜的地方，“水天相接，共着一色”，我想这恰是我们的教育理想。“天”是思维之道，为人之道，自然之道，“水”是人心，天道罩人心，心中自有天道之影，天降落霞渗于水，水升孤鹜心向天。偶然中见时常，时常表于偶然，反思解题领悟思维之道是一种必然，而题目探索心路历程中的点点偶然色彩，宛如“落霞”与“孤鹜”，赋予了这种必然性更浓的神秘光泽。笔者真心忏悔，实无能力全心驾驭这种“精于思维之术而铸就的必然性”。
所以我宁愿把“丙同学的辅线设计”权当作是一种熟于经验之技而催生的必然性，这样一来，我便不再惧怕自己不能由心修补、应需构造。现在，让我们大胆设想，在解本题之前，丙同学曾经体验过类似的“利用旋转来构造全等三角形”而后成功破题的经历，并且对于这个“旋转45°角的基本模型”（即：一个45°的角，它的顶点与某个直角的顶点始终重合，然后让它在这个直角的内部旋转，你能发现什么？这里又如何可以去实现“化分散为聚拢”？）有着深刻的印象不说，甚至早已把它内化、交织到了自己的知识仓库中。在解题探索中，丙同学已经在第一波联想中捕捉到“PE=（4－t）”，当时的他急需再去俘获另外一个“含t的PE之表示式”，在这个节骨眼上，他凝视图1中的“∠EBP=45°，∠ABC=90°”，他一眼就看穿了“点P、点E位置的变化”等效于“45°角在90°角的内部，绕着它的顶点旋转”，哦！这难道不是记忆中的“一只孤鹜”吗？俺早就弄清它的“底细”了，到此，丙同学的脸上露出了诡异的微笑，于是“图2”的构造与尝试，成为他本人因熟于经验之技而催生的必然性，这种必然性显而易见为一种“响当当”的毋庸置疑的“必然性”。
怪不得，笔者要说：丙同学的那个“关键的一步”是思维的偶然性与必然性的交合！解题中，漂浮不定的偶然因素是不好驾驭的，那么就让我们尽量去掌握那些“有板有眼”的必然因素吧！这些有板有眼的“必然因素”又是什么模样呢？请读者通过阅读下面的文字去体会。
我们要知道解题探索中的某一念头不会无缘无故地产生，它的产生来自于对过去解题经验的反思和总结（这些经验与反思让我们的成功解题在淡薄的偶然性中获取了更浓的必然性！），它的产生也来自于在临场中对“已知”与“待求”所作的积极对比联想和尽量牵线塔桥（这些联想与举措也让我们的成功解题在淡薄的偶然性中获取了更浓的必然性！）。其实，解题探索中的某一念头与所谓灵感的产生必然要遵循人脑思维的套路，而这个套路又何以言表呢？我看——或者是读懂已知，综合联想，重修旧灶、故技重施；或者是归类分析，追溯需知，对比创造、应需构造；总体感受是：由“道”导航，投石问路，微调修正，寻归正途??仿佛如是耳！然则此“道”又乃何意？我看它是高于解题所需的基础知识与基本技能之上的思维方法，这些方法对解题起着至关重要的作用，但令人遗憾的是它往往被初学解题的人所忽略，这些思维方法有很多，且并非只限于单独使
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