第三章自动控制系统的时域分析
3.1 控制系统的稳定性分析 一.稳定性的概念
稳定系统: 在有界输入作用下,系统输出响应也是有界的动态系统。
线性系统稳定的充要条件：系统微分方程的特征方程的全部根（闭环系统的极点）都位于复平面的左半平面。 线性系统临界稳定的充要条件：特征方程在右半复平面没有根，在虚轴上有单重根。
二. Routh判据
设系统的特征方程为：
1. 构造Routh表
从第3行开始第 i 行第 j 列元素应为
1ai?2,1 ai?2,j?1?i?3?b1?an?1an?2?anan?3ai,j?? ai?1,1ai?1,1 ai?1,j?1an?1
b2?；
an?1an?4?anan?5an?1
2. 应用Routh判据
1）方程全部根都在左半复平面的充要条件是Routh表的第1列全部是正数。 2）位于右半复平面的方程的根的个数等于第1列的元素改变符号的次数。 例1： 2s6+5s5+3s4+4s3+6s2+14s+7=0
第1列系数符号改变2次，方程有2个根在右半复平面，故系统不稳定。 特殊情况：1）第1列中出现0：用一个小的正数代替，继续计算。 例2： s3-3s+2=0
第1列系数符号改变2次，方程有2个根在右半复平面，故系统不稳定。
2）出现全0行：用全0行的上一行各元素构造一个辅助多项式，以辅助多项式的导函数的系数代替全0行，继续计算。
例3： s5+7s4+6s3+42s2+8s+56=0
p(s)?7s4?42s2?56辅助多项式
第1列系数符号没有改变，方程没有根在右半复平面；而原表出现全0行，故系统临界稳定。 出现全0行表明方程有关于原点对称的根。解辅助方程可求出这些根。 7s4+42s2+56=0，得 j2.0000 - j2.0000 j1.4142 -j1.4142
对p(s)求导 dp(s)?28s3?84sds另一个根 -7.0000 实际上系统临界稳定。
3.2 控制系统的动态特性分析 一. 典型输入信号(标准测试信号)
阶跃函数A=1时，称为单位阶跃信号。
?0, t?01r?t???R?s??s常记为U(t)或1(t) ?1, t?0二. 二阶系统
闭环传函
2?nC?s??2,??02R?s?s?2??ns??nζ：无阻尼自然振荡频率；ωn ：阻尼比
22s?2??s???0特征根（闭环极点） nn特征方程
s1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)?????n??n??1 当ζ<0，Re(s1,2)>0，系统不稳定，所以只讨论ζ≥0的情况。
1. 典型二阶系统的阶跃响应
1R?s??r?t??u?t? ss1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)?????n??n??1 s1,2??j?n 不衰减的振荡（“1”的上下，max=2,min=0）
★无阻尼情况(ζ=0) 特征根为两个共轭虚根
X
X
★欠阻尼情况(0<ζ<1) 特征根为一对共轭复根
s1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)?????n??n??1 X
X
s1,2????n?j?n1??2????j?d
?n 无阻尼自然振荡频率 ?阻尼比
???n1??2????dn衰减系数 阻尼自然振荡频率
振幅按指数衰减的振荡，c(∞)=1,无稳态误差。 ★临界阻尼情况（?=1）
s1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)????????1s???nnn?特征根为两个相等的负实根：1,2
X
无振荡，上升曲线。
★过阻尼情况(?>1)
s1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)?????n??n??1
特征根为相异实根：
s1,2?????2?1?n
??
X X
无振荡，上升曲线。
★阻尼比小节
阻尼比决定响应性态，是二阶性态最重要的特征量： ζ=0系统不能正常工作； ζ>1暂态过程太长。 常考虑：0<ζ<1时，系统的响应情况。
2. 典型二阶系统的动态性能指标 阶跃响应的动态性能指标(0???1)
阶跃响应的动态性能指标(0???1) 阶跃响应的动态性能指标(0???1)