?s?zoi????KPs?11?G?s?H?s??1??1?Kin?0Q?s??s?p?m?j?1oj(K-开环增益)
P?s??sm?bm?1sm?1???b1s?b0 Q?s??sn?an?1sn?1???a1s?a0
根轨迹法：根据开环传函(开环零、极点)，找出开环增益(或别的某个参数
迹。
变化时，闭环系统特征根的轨
根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。G?s?H?s???1 因s为复数，开环传函G(s)H(s)为复数，故
oG?s?H?s??1???????GsHs?2k?1?180相角条件：；幅值条件：
若开环传递函数写成零、极点表示形式，即：
P?s?G?s?H?s??K?KQ?s???s?z?oim??s?p?ojj?1i?1n??1-zoi：开环零点 -poj：开环极点
?s?Zoi????Ps1j??s?1???i??Ase??nQ?s?K?s?P?将
m?j?1oj代入根轨迹条件方程得另一形式根轨迹条件方程
相角条件：
??s????G?s?H?s??????s?zoi?????s?poj???2k?1??180oi?1j?1mn k?0,?1,?2,?
?s?zoi??i开环有限零点到s的矢量的相角 ?s?poj??j 开环极点到s的矢量的相角以逆时针方向为正
幅值条件：
s li αi -zoi Lj βj × -poj A?s???s?zi?1nj?1moi?oj?li?1nj?1mi?s?p?Lj
?开环有限零点到s的矢量长度之积1 ?开环极点到s的矢量长度之积K 1、以K为变数，复平面[s]上满足相角条件的点构成的图
形就是根轨迹(图)。 2、根轨迹(图)上，与一定增益K0相对应的特征根(闭环极点)s0可由幅值条件确定。 注意：绘制根轨迹时，横坐标和纵坐标采用同样的尺度划分以便读数。 4.2 根轨迹的绘制
根轨迹：K:0-∞(K≥0)闭环系统特征根的轨迹。
根轨迹绘制的一般步骤
（1）根据给定的系统，求出系统的开环传递函数（写成零、极点的表示形式）。（2）根据作图规则，找出一些特殊点。（3）将特殊点用光滑曲线连接起来，得到根轨迹的概略图。
P?s??Q?s?一. 根轨迹的绘制规则
??s?z?oim??s?p?ojj?1i?1n?A?s?ej??s???1K
1. 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点；如果≠ m, 则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远(开环无限零点)。根轨迹,从开环极点画起,到开环零点终止。
2. 根轨迹的分支数、对称性及连续性、 根轨迹的分支数=开环极点数=系统阶数n、 根轨迹对称于实轴。根轨迹从开环极点到开环零点是连续的。 3. 实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹分支存在的区间的右侧，开环极、零点之和为奇数。
4. 根轨迹的分离点（或会合点）
a:分离点b:会合点
两条或两条以上的根轨迹在复平面上某点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。
若在该点处根轨迹是离开实轴，称为分离点；若在该点处根轨迹是返回实轴，则为会合点。 实轴上分离点和会合点的判别
若实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则相邻开环极点之间必有分离点；
jω
X O
σ
若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无限零点）之间是根轨迹，则相邻开环零点之间必有会合点； 若实轴上的根轨迹在开环零点与开环极点之间：①既不存在分离点，也不存在会合点 ②既存在分离点，也存在会合点。
实轴外也可能有分离点(会合点)——复数 。
KP?s?G?s?H?s??Q?s? 分离点求法:
?P??s?Q?s??Q??s?P?s??0??K?0
180??d??重数
分离角5. 根轨迹的渐近线
j?As???reA渐近线方程
?A
：渐近线与实轴的交角 ?A：与实轴交点，中心点
(1) 渐近线与实轴的交角：?A?2k?1?180on?m由倾角知，(独立的)不重复的渐近线只有n-m条。
(2) 渐近线与实轴交点σA(渐近中心)?A?开环有限极点之和-开环有限零点之和n?m 6. 根轨迹与虚轴的交点——临界稳定点 (1)利用Routh判据，确定临界稳定点。 (2)特征方程中，s= j,令实部和虚部分别等于零， 解出ω及K值。ω即为与虚轴的交点。 7. 根轨迹的出射角和入射角
出射角：起于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线的正方向的夹角。
入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线的正方向的夹角。
8. 根轨迹的平衡性(根之和） n-m ≥2
???j?1npj?????j?1npoj? 随着K的增大，一些特征根增大，另一些特征根必减小—— 一些根轨迹右行时，必有另一些左行。
例3: 单位负反馈系统如下: R(s) - C(s) k s ( s+1 ) ( s+2 ) 绘制系统的根轨迹图。
解：特征方程
K??1s?s?1??s?2?
o???????????GsHs???s??s?1??s?2?2k?1?180相角条件：
G?s?H?s??幅值条件：
K?1K?s?s?1??s?2?s?s?1??s?2? 即：
G?s?H?s??Ks?s?1??s?2?
(1) 确定根轨迹的分支数，起点、终点和实轴上的根轨迹。 3条分支
起点：0、-1、-2
终点：∞、∞ 、∞
实轴上的根轨迹：[-∞，-2]、[-1，0]
G?s?H?s??(2) 求根轨迹的分离点。 P(s)=1; P'(s)=0 s1=-0.422, s2=-1.578 Q(s)=s(s+1)(s+2); Q'(s)=3s2+6s+2 P'(s) Q(s)- P(s) Q'(s)=0 3s2+6s+2=0
把s代入幅值条件解得 k1=0.38, k2=-0.38, 故s1=-0.422是分离点。
Ks?s?1??s?2?G?s?H?s??(3)根轨迹渐近线
Ks?s?1??s?2?
? 60o?2k?12k?1?A??180o??180o?? 180on?m3??60o?
?A????p?????z?ojoij?1i?130n?mK0?1?2????GsHs????1s?s?1??s?2? 3
(4) 根轨迹与虚轴的交点、对应的临界增益。
s3 1 2
s2 3 K s1 （6-K）/3 s0 K s3?3s 2令?2s?K，得?0K=6 特征方程：利用Routh判据 6-K=0
令 3s2+K=0
s2??K??23 s??j2??j1.414(K=6) K=6时的另一实根s= -3
-2 -1 j1. 414 (k=6) - 0.422 (k=0.
38) 0
- j1. 414 (k=6)
第五章 控制系统的频域分析(频率响应法)
5.1 频率特性
频率响应——正弦信号输入时系统的(稳态)响应。
频率特性——正弦信号输入时，系统稳态输出与输入量之比（正弦传递函数）。 <引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入ur?t??Xsin?tZ?R?1j?C
?c?u?r1?ruuur????2Zj?C1?j?RC1???RC?
???tg?1?RC
?1???tg?RC 都是ω的函数 ；
?cu1???2?ru1???RC?
?cu1?2?ru1???RC???增益?????????——滞后增大 频率特性：