系统频率特性表达式的推导
G?s??设线性定常系统传函G(s)p?s?p?s??q?s??s?s1??s?s2???s?sn? （对于含有重极点的情况，结论同样适用） 输入为正弦信号： x?t??Xsin?t 输出信号的拉氏变换：
X?s????X?X?s?j???s?j?? s2??2bnaa?b1p?s??X ??????Y?s??G?s?X?s??s?j?s?j?s?s1s?sn（a，b待定系数） q?s?s2??2y?t??ae?j?t?a?ej?t?b1e?s1t???bne?snt
?aa???j?tys?t??L???a?ej?t??ae?s?j?s?j??正弦输入下的稳态响应（稳定系统）
?1其中待定常数a和a*分别为：
a?G?s??XX?XX?????????s?j???G?j?a?Gss?j??G?j??22s2??22js??2js??j?s?j?
容易证明，a与a*为一对共轭复数。
a和a*代入上式,则有：
ys?t??ae?j?t?a?ej?t ?XG?j??1?e?j??t???????ej??t??????2j ?XA???sin??t???????? ?Y???sin??t??????
Y?A????G?j??X正弦稳态输出对正弦输入的幅值比
正弦稳态输出对正弦输入的相位移??????G?j?? 根据定义，线性系统的频率特性为：
A(?)ej?(?)?G(j?)ej?G(j?)?G(j?)?G(s)s?j?G?j? ??Y?j??X?j?? Jω为频率特性，即正弦传递函数 5.2 对数频率特性图(Bode图)
对数坐标图(Bode图):将频率特性画在(半)对数坐标上。 横坐标: 频率ω,用对数lgω分度,单位rad/s 纵坐标: 幅值A(ω),用对数20lgA(ω)分度,单位[dB] 相角ψ(ω),用ψ(ω) 分度,单位是(o) 幅频特性：20lgA(ω)~lgω 相频特性：ψ(ω)~ lg ω
十倍频程：在Bode图的横坐标上，频率每变化10倍的距离，就称为十倍频程，用符号dec来表示。 倍频程：在Bode图的横坐标上，频率每变化２倍的距离，就称为倍频程，用符号oct来表示。 一. 典型环节的Bode图
G?j???1. 比例环节 G(jω)=K 2. 积分环节
1j? 3. 微分环节 G?j???j?
-20dB/dec 1
20dB/dec
1
90°
-90°
G?j???4. 一阶惯性环节
11?j?T 5. 一阶微分环节 G?j???1?j?T
dB0110T1T10TdB20dB/dec??20dB/dec200110T?20?(?)0??(?)1T10T??45??
90?45?0??90?1/T：转折频率
?
G?j???6. 二阶共轭极点环节
1?2?1?2?j2??n?n 0???1
dB400110T40dB/dec?401T10T??40dB/dec?(?)?18090??0?90???180?
?2?G?j???1?2?j2??n?n
7. 二阶共轭零点环节
二. 系统的对数频率特性
G?s??例1：绘制系统的对数频率特性
10?s?3?s?s?2?s2?s?2
??ss10?3(?1)7.5(?1)33G(s)??2sssss2ss?2(?1)?2(??1)s(?1)(??1)222222解：1. 将开环传递函数化为时间常数的表示形式
?j??7.5??1?3??j????2???1??1??j?222???
G?j???2. 频率特性：
?j???3. 系统由五个典型环节组成：
（1）7.5 （比例环节）
j?1?1?n??3T（2）3（一阶微分环节） G(j?)?j?T?1 1（3）j? （积分环节）
111j?G(j?)??1?n??2j?T?1 T（4）2（一阶惯性环节）
1（5）
1?1?22?1j?G(j?)?1??2T2?j2??T ?n?2 2（二阶振荡环节）
??22?0.345
4. 幅频特性：
转折渐进作图法：找出所有环节的转折频率，从小到大排列，从低频渐近线开始，沿频率增加的方向，碰到一个转折频率，就改变渐近线的斜率。
j??1)3G(j?)??j??2??j?(?1)?1??j?222??7.5(（1）确定低频部分
G1(j?)?比例环节，积分环节（低频部分）
7.5j?
20lgA1(?)?20lg7.5?20lg?
??1 20lgA1(?)?20lg7.5?17.5dB ??10 20lgA1(?)?20lg7.5?20??2.5dB
（2）将低频部分以外的环节按转折频率从小到大的顺序列出转折渐进表。
j??1)3G(j?)???2j???j?(?1)?1??j?222??7.5(（3）作图
低频 二阶振荡环节 一阶惯性环节 一阶微分环节 顺序：
③作出其余部分曲线（从第一转折频率向右，每经过一个转折频率，对数幅频曲线的斜率变更一次）
j?7.5(?1)3G(j?)??j??2??j?(?1)?1??j?222??5．相频特性由频率特性得：
??2: ??????90??tg?1?3?tg?1?2??tg?121??22??2: ??????90??tg?1?3?tg?1?2??180??tg?1?22?1
2直接计算几个点，采用描点法。