n1
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较?f(k)?n?与4的大小，并说明理由.
2k?1?本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，得a＝
xy?1＞0 y?1故g(x)＝loga由logax?1，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞) x?1tx?1得 ?loga(x2?1)(7?x)x?1t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]
则t'=-3x+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下：
2
x t' t 2 5 (2,5) + ↗ 5 0 极大值32 (5,6) - ↘ 6 25 所以t最小值＝5，t最大值＝32
所以t的取值范围为[5,32]????????????????????5分
(2)
123n?1g(k)?ln?ln?ln????ln ?345n?1k?2n123345n(n?1) ＝－ln
22
＝ln(??????n?1) n?11?z21令u(z)＝－lnz－＝－2lnz＋z－，z＞0[来源:学科网]
zz则u'(z)＝－
211?1?2＝(1－)2≥0 zzz所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数 又因为n(n?1)n(n?1)＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0 22
即ln2?n(n?1)1?n(n?1)2＞0 n(n?1)22?n?n2即?g(k)?????????????????????????9分
2n(n?1)k?2n(3)设a＝
11?a2，则p≥1，1＜f(1)＝?1?≤3
1?ap1?p2≤2＜4 p当n＝1时，|f(1)－1|＝当n≥2时
(1?p)k?12?1?设k≥2,k∈N 时，则f(k)＝ kk(1?p)?1(1?p)?1*
＝1＋
2 122kkCkp?Ckp???Ckp所以1＜f(k)≤1＋
2444?1??1?? 1Ck?Ck2k(k?1)kk?1从而n－1＜
?k?2n444＝n+1-＜n＋1 f(k)≤n-1+?2n?1n?1所以n＜
?f(k)＜f(1)＋n＋1≤n＋4
k?1n综上所述，总有|
?f(k)－n|＜4
k?1n2.（2010四川文）（22）（本小题满分14分）
1?ax设f(x)?（a?0且a?1），g(x)是f(x)的反函数.
1?ax（Ⅰ）求g(x)；
（Ⅱ）当x?[2,6]时，恒有g(x)?logat成立，求t的取值范围； 2(x?1)(7?x)
1
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+?+f(n)与n?4的大小，并说明理由.
2
[来源:学科网ZXXK]
3.（2010湖北理）17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢
建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
k(0?x?10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造3x?5费用与20年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。
2009年高考题
）1.(2009年广东卷文)若函数y?f(x)是函数y?a（a?0，且a?1的反函数，且
xf(2)?1，则f(x)?
A．log2x B．答案 A
( )
1x?2 C．log1x D．2 x22）解析 函数y?a（a?0，且a?1的反函数是f(x)?logax,又f(2)?1,即loga2?1,
所以,a?2,故f(x)?log2x,选A.
x
2.（2009北京文）为了得到函数y?lgx?3的图像，只需把函数y?lgx的图像上所有 10点 （ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. 3.（2009天津卷文）设a?log12,b?log13,c?()32120.3，则 ( )
A a
因此选B。
【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能 4.（2009四川卷文）函数y?2x?1(x?R)的反函数是
A. y?1?log2x(x?0) B. y?log2(x?1)(x?1) C. y??1?log2x(x?0) D. y?log2(x?1)(x??1) 答案 C 解析 由y?2x?1?x?1?log2y?x??1?log2y，又因原函数的值域是y?0，
∴其反函数是y??1?log2x(x?0)
5.（2009全国卷Ⅱ理）设a?log3?,b?log23,c?log3
A. a?b?c 答案 A 解析 ?log3 log2B. a?c?b
2，则
C. b?a?c D. b?c?a
2?lo2g?23l?b?3c 2og?b. ?c3?lo2g?2lo?g3??ag?b?a3lo2的值为
6.（2009湖南卷文）log2A．?2 B．2 C．?答案 D 解析 由log2
11 D． 22112?log22?log22?,易知D正确.
2212