?由(1)知,
1111111??...????...???3????????10分 a1a2ana1a2anan?1（3）证明：?f(n?1)?f(n)?f2(n)?0
?f(n?1)?f(n),?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?????f(1)?2?0
又
11111 ?2???f(n?1)f(n)?f(n)f(n)[f(n)?1]f(n)f(n)?1111??12分 ??f(n)?1f(n)f(n?1)n???k?11111111?[?]?[?]?????[?]f(k)?1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n?1)????14分
1111????.f(1)f(n?1)f(1)228、（2009深圳一模）已知函数f(x)?aln(1?2x)?x（a?0，x?(0,1]）．
（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）若不等式1?n??nln(1?解：（Ⅰ）f?(x)?222 )对一切正整数n恒成立，求实数?的取值范围．
na?2x ??????? 2分 1?ax?2ax2?2x?a?，
1?ax?1?2a2?1由?2ax?2x?a?0，得x?．
2a2?1?2a2?1?1?2a2?1?0，?0． ?a?0，?2a2a?1?2a2?1?又?2aa2a?1?12?1．
?函数f(x)的单调递增区间为(0,2a2?1?1(,1)． ???? 6分
2a2a2?1?1),递减区间为
2a
（Ⅱ）【法一】不等式令
1221，即为．?????（※） ???ln(1?)??ln(1?)?nnn2n21?x，当n?N?时，x?(0,1]． n2则不等式（※）即为??ln(1?2x)?x． ???????9分 令g(x)?ln(1?2x)?x，x?(0,1]，
2?在f(x)的表达式中，当a?2时，f(x)?g(x)，
?1?2a2?11?， 又?a?2时，
2a211?g(x)在(0,)单调递增，在(,1)单调递减．
22111g(x)在x?时，取得最大，最大值为g()?ln2?． ???????12分
224211因此，对一切正整数n，当n?2时，ln(1?)?2取得最大值ln2?．
4nn1?实数?的取值范围是??ln2?． ?????????? 14分
41221【法二】不等式2???ln(1?)，即为??ln(1?)?2．??????（※）
nnnn21设g(x)?ln(1?)?2(x?1)，
xx222?2x2?2x?4x， g?(x)??3?321?xxx(x?2)?令g?(x)?0，得x??1或x?2． ?????????? 10分
?当x?(1,2)时，g?(x)?0，当x?(2,??)时，g?(x)?0．
1?当x?2时，g(x)取得最大值ln2?．
41因此，实数?的取值范围是??ln2?． ?????????? 14分
4129、（2009湛江一模）已知函数f(x)?(a?)x?lnx.（a?R）
2（Ⅰ）当a?1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方，求a的取值范围．
1x2?112解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?x??；??????2分
xx2 对于x?[1，e]，有f?(x)?0，∴f(x)在区间[1，e]上为增函数，????3分
e21 ∴fmax(x)?f(e)?1?，fmin(x)?f(1)?.???????????5分
22（Ⅱ）令g(x)?f(x)?2ax?(a?)x2?2ax?lnx，则g(x)的定义域为（0，+∞）.
?????????????????6分
在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方等价于g(x)?0在区间（1，+∞）上恒成立.
121(2a?1)x2?2ax?1(x?1)[(2a?1)x?1]∵g?(x)?(2a?1)x?2a?? ?xxx11，令g?(x)?0，得极值点x1?1，x2?，??????8分 22a?11当x2?x1?1，即?a?1时，在（x2，+∞)上有g?(x)?0，
2① 若a?此时g(x)在区间(x2，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
g(x)∈(g(x2)，+∞)，不合题意；???????????????9分
当x2?x1?1，即a?1时，同理可知，g(x)在区间(1，+∞)上，有
g(x)∈(g(1)，+∞)，也不合题意；???????????????10分
② 若a?1，则有2a?1?0，此时在区间(1，+∞)上恒有g?(x)?0， 2从而g(x)在区间(1，+∞)上是减函数；??????????????12分 要使g(x)?0在此区间上恒成立，只须满足g(1)??a?由此求得a的范围是[?11?0?a??， 2211，]. 2211综合①②可知，当a∈[?，]时，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方.
22 ??????????????????14分
2009年联考题
一、选择题
1.(2009年4月北京海淀区高三一模文)函数f(x)=2的反函数y?fx?1?x?的图象
是 （ ）
答案 A
2. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)下列函数中，在区间(1,??)上为增函数的
是
x
（ ）
A．y??2?1
2C．y??(x?1) 答案 B
x 1?x D．y?log1(x?1) B．y?2
3.（2009福建省）函数y?log2|x|的图象大致是
( )
答案 C
4.（2009厦门集美中学）若y?loga(2?ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围
是
( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,??) 答案 C
5.（2009岳阳一中第四次月考）函数y?lg|x|的图象大致是 x ( )
答案 D 二、填空题
6.（2009泉州市）已知函数f(x)=??log2x(x?0)1,x若f(a)=2 .
?2,(x?0)答案 -1或2
7.（2009厦门十中）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2?x1?x2?， 均有f?x1??f?x2??kx1?x2成立，则称函数f?x?在定义域D上满足利普希茨条件。若函数f?x??答案
x?x?1?满足利普希茨条件，则常数k的最小值为_____。
1 28.（2009中学第六次月考）定义区间[x1,x2](x1?x2)的长度为x2?x1,已知函数
f(x)?|log1x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值
2的差为 . 答案 3
9.(江西南昌新民外语学校09届高三第一次月考)函数f(x)?为 ． 答案 [3,??)
三、解答题
10．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)
x?2?1log2(x?1)的定义域
?2x?b已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数.
2?a（1）求a,b的值；
（2）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围. 解 （1） 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)?0,即22?1?b?0,解得b?1 2?a1??1x?2?1?2?1. 又由f(1)??f(?1)知从而有f(x)?x?1，解得a?2 ??24?a1?a2?a