（2013，永州）如图，已知AB?BD，CD?BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m,n,l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？ C
BD P
?第25题图?
（2013?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米 ．
A
考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 解答： 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB，即则=， =， ∴h=1.5m． 故答案为：1.5米． 点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． （2013，成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，?A??C?90o，
BD?BE，AD?BC.
（1）求证：AC?AD?CE；
（2）若AD?3，CE?5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ?DP，交直线BE与点Q；
i）当点P与A，B两点不重合时，求
DP的值； PQii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）
（1）证△ABD≌△CEB→AB=CE；
（2）如图，过Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE， ∴
ADAPBHQH，； ? ? PHQHBCEC设AP=x ，QH=y，则有∴BH=
BHy? 353y3y，PH=+5?x 55∴
33y?5?x5?x，即(x?5)(3y?5x)?0 y又∵P不与A、B重合，∴x?5, 即 x?5?0， ∴3y?5x?0即3y?5x
∴
DPx3?? PQy5(3)
234 3（2013?广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．
考点： 作图—应用与设计作图． 专题： 作图题． 分析： 分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可． 解答： 解：根据勾股定理，斜边AB==4， ①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时， ∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切， ∴=， 解得r=4﹣4， ②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切， ∴=， 解得r=2， 作出图形如图所示： 点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键． （2013?眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为_________
AEAF1??，若EBFC2
（2013?眉山）在矩形ABCD中，DC＝23，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF。
⑴求证：△DEC∽△FDC；
⑵当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度。
A F
D E B C
（2013?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足
AO2?； AD3AO2?，试判断OAD3是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 B
S四边形BCHGS?AGH的最大值。
AAAGOCBOCBOHCD（图1）D（图2）D（图3）
2013?内江）如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．2：5 C． 3：5 D． 3：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF=4：25， ∴DE：AB=2：5， ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3． 故选B． 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． （2013?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
B． 2：3
考点： 相似形综合题． 分析： （1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式； （3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可