∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3， ∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5， 在△NED与△DFM中， ∴△NED≌△DFM（ASA）， ∴NE=DF． ∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF． （2）①答：AE=DF． 证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD， ∴，即MF?EN=DE?DF． 同理△AEN∽△MFB， ∴，即MF?EN=AE?BF． ∴DE?DF=AE?BF， ∴（AD﹣AE）?DF=AE?（BD﹣DF）， ∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF． 证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． ∵D为AB中点， ∴DQ=PC=PB． 易证△DMF∽△NDE，∴易证△DMP∽△DNQ，∴∴； ， ， ， 易证△AEN∽△DPB，∴∴，∴AE=DF． ②答：DF=kAE． 证法一：由①同理可得：DE?DF=AE?BF， ∴（AE﹣AD）?DF=AE?（DF﹣BD） ∴AD?DF=AE?BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE． 证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q． 易证△AQD∽△DPB，得由①同理可得：∴又∵∴； ， ， ， ，即PB=kDQ． ∴DF=kAE． 点评： 本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想． （2013?厦门）如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，
DE＝2，则BC＝ 6 ．
A D E
C B
图3
（2013?吉林省）如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1㎝/s，点P沿A F D的方向运动到点D停止；点Q沿B C的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动.在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（㎝2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s） （1）当点P运动到点F时，CQ= ㎝；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度； （3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式.
DBMQBEDE（2013?白银）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
考点： 相似三角形的应用． 分析： 易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 解答： 解：根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知=，即=， 解得AM=5m．则小明的影长为5米． 点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
（2013?宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有 ①②③ ．（只填序号） 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 分析： 根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可． 解答： 解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE=BC=2， ∴△ADE∽△ABC， 故①②正确； ∵△ADE∽△ABC，=， ∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4， △ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2， 故③正确，④错误． 故答案为：①②③． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
(1)当t＝ ▲ s时，四边形EBFB'为正方形；
(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； (3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2013?淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．
（1）当ι= 7 时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式；
②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
考点： 相似形综合题． 分析： （1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得； （2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值； （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解． 解答： 解：（1）在直角△ABC中，AC==4， 则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5． 根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7． （2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒． 则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1． 当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC， 在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH=AQ=∵PC=BC﹣BP=3﹣t， ∴×（2t﹣4）=3﹣t， 解得：t=； ． （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t． 同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14﹣2t）， 故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t+10t﹣2）． 故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）． ∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上， 2