（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）
11 9 8 A．C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 分析： 判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长． 解答： 解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形， ∵AD∥BC， ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3， 在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4， 10 B． ∴AG==2， ∴AE=2AG=4， ∴△ABE的周长等于16， 又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选D． 点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大． （2013?自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形． 分析： （1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论． （2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度． （3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可． 解答： （1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°， ∴∠B1CQ=∠BCP1=45°， ∵在△B1CQ和△BCP1中， ， ∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）， ∴CQ=CP1； （2）作P1D⊥CA于D， ∵∠A=30°， ∴P1D=AP1=1， ∵∠P1CD=45°， ∴=sin45°=， ， ∴CP1=P1D=又∵CP1=CQ， ∴CQ=； （3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=∠CBE=30°， ∴AC=BC， 由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE， ∴△AP1C∽△BEC， ∴AP1：BE=AC：BC=：1， 设AP1=x，则BE=x， 在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴AB=2BC=2， ∴S△P1BE=×=﹣x（2﹣x）=﹣2x+2x （x﹣1）+， ． 故当x=1时，S△P1BE（max）=点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度． （2013?沈阳）如图，?ABC中，AE交BC于点D，?C??E，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长等于（ ） A．
20151617 B． C． D． 3434
（2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值． 解答： 解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴=， ∵O为对角线的交点， ∴DO=BO， 又∵E为OD的中点， ∴DE=DB， 则DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选D． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值． （2013?黄石）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
ACBC，那么称点C为线段AB?ABAC的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果
S1S2?，那么称直线为该图形的黄金分割线. SS1（1）如图2，在△ABC中，?A?36°，AB?AC，?C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD中，?D??C?90?，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论. · A
C C A
· C 图1
· B
A
D 图2
B
图3
D
A
B
H B D
F C 图4
E
解析：
解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下：
∵?A?36°，AB?AC ∴?B??ACB?72° ∵CD平分?ACB ∴?DCB?36°
∴?BDC??B?72°
∵?A??BCD，?B??B ∴△BCD ∽△BAC
BCBD ?ABBC又∵BC?CD?AD ADBD∴ ?ABAB∴D是AB边上的黄金分割点 ················································ （3分）
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
111S?ADC?AD?h，S?DBC?BD?h，S?ABC?AB?h
222∴
∴S?ADC:S?ABC?AD:AB，S?DBC:S?ADC?BD:AD ∵D是AB的黄金分割点 ∴
ADBD ?ABAD∴S?ADC:S?ABC?S?DBC:S?ADC
∴CD是△ABC的黄金分割线 ················································· （3分）
（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 ∵BC∥AD
∴△EBG ∽△EAH，△EGC ∽△EHD
BGEG ① ?AHEHGCEG ② ?HDEHBGGCBGAH由①、 ②得 即 ③ ??AHHDGCHD同理，由△BGF ∽△DHF，△CGF ∽△AHF得 BGGCBGHD 即 ④ ??HDAHGCAHAHHD由③、④得 ?HDAH∴AH?HD ∴BG?GC
∴