∴PD一定是AC的中垂线． 则AP=AC=2，PD=BC=， 则S△APD=AP?PD=×2×=． AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4． 则PC边上的高是：AQ=×4=则S△PCQ=PC?故答案是：7． =×2×=． ． 点评： 本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．
（2013?南京）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过 点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且?BCP=?ACD。 (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： (2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 （2，4﹣2） ．
考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质． 分析： 根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标． 解答： 解：∵四边形OABC是边长为2的正方形， ∴OA=OC=2，OB=2， ∵QO=OC， ∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2， ∵正方形OABC的边AB∥OC， ∴△BPQ∽△OCQ， ∴即==， ， 解得BP=2﹣2， ∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2， ∴点P的坐标为（2，4﹣2）． 故答案为：（2，4﹣2）． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键． （2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t= 2.5 s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 相似形综合题． 分析： （1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可； （2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算； （3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在． 解答： 解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF， 即：10﹣t=3t， 解得t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG， 则有，即， 解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF， 则有，即， 解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2． ∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似． （3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合． 如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5， 由勾股定理得：OM+FM=OF， 222即：5+（6﹣3t）=（3t） 解得：t=； 222 过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6， 222由勾股定理得：ON+EN=OE， 222即：6+（5﹣t）=（10﹣t） 解得：t=3.9． ∵≠3.9， ∴不存在实数t，使得点B′与点O重合． 点评： 本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在． （2013?泰州） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M. (1)求证：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；
(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。
解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90° ∵∠ABC+∠ABQ=180° ∴∠ABQ=∠ADP =90° ∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90° ∴∠QAB+ ∠BAP=90° 又∵∠PAD+∠BAP=90° ∴∠PAD=∠QAB
在△ADP与△ABQ中
A10 Dx
PMQB20-x
??ADP??ABQ∵?
?PAD??QAB?∴△ADP∽△ABQ
（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°
N
C又∵∠MQN=∠PQC ∴△MQN∽△PQC ∴
MNQM ?PCQP∵点M是PQ的中点 ∴
QM1? QP2∴
MNQMQN1??? PCQPQC2又∵PC?DC?DP?20?x ∴MN?1111PC?(20?x) QN?QC?(QB?10) 2222∵△ADP∽△ABQ ∴
ADDP10x ∴BQ?2x ??20BQABBQ111QC?(QB?10)?(2x?10) 2221∴BN?QB?QN?2x?(2x?10)?x?5
2∵QN??1?2222在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM?MN?BN??(20?x)??(x?5)
?2?即：y?252x?20x?125 (0?x?20 )445?35.
当x?4即DP?4时，线段BM长的最小值?A 10
(3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10
D 8 P a
10a由△ADP∽△ABQ得?解得：a?12.5
810M Q
10 B 10 C ∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，
当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：a?12.5 ．（2013?南通）若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ▲ ．
（2013?南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，
BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
A F D
B
E
（第27题）
C