雅博培训学校暑假四进五强化班数学讲义
解：①a1=1，a2=1+2，a3=（1+2）+2=1+2×2，a4=1+2×3，a5=1+2×4，??
依此类推：a17=1+2×16=33
a49=1+2×48=97
②a1=1，a2=1+3，a3=（1+3）+3=1+3×2，a4=1+3×3，?? 依此类推：a15=1+3×14=43
a30=1+3×29=88
总结得出如下规律：第n项=首项+公差×（项数－1)
an = a1 + d ×( n - 1)
2.已知an求n:怎样求项数
例：请求出划横线的数是第几项。
①1,4,7,10，??，40，??，70，??，97，?? ②10,17,24,31，?,94，??，710，?? 解：①40=1+3×？
？=（40-1）÷3=39÷3=13
a?=1+3×13
a14=1+3×13
因此40是第14项。 70=1+3×?
？=（70-1）÷3=69÷3=23
a?=1+3×23
a24=1+3×23
因此70是第24项。 同理：（97-1）÷3=96÷3=32 因此97是第33项。
总结：项数=（该项-首项）÷公差 + 1
n = ( an - a1 ) ÷ d + 1
②（94 -10）÷7+1= 84÷7+1= 12+1=13， 故94是第13项。 （710-10）÷7+1=700÷7+1=100+1=101，故710是第101项。
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三、运用公式计算：
1．公式： an = a1 + d × ( n - 1)
n = ( an - a1 ) ÷ d + 1 d = ( an - a1 ) ÷（n - 1）
2.公式的应用：
例：23,28,33,38，??，78，??，a20，??，123，??，a31，??
求：① 上的数是第几项；②a20，a31是多少？
例：已知一个数列中a1=3，a5=55
求：①d；②求143是第几项；③第21项是多少？ 3．拓展
例：如果一个等差数列的第4项是21，第6项是33，求它的第8项。 解析：方法一：根据通项公式，要求第8项，必须知道首项和公差。 因为a4=a1+3×d,又a4=21，所以a1=21－3×d， 又因为a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33－5×d
得，21－3×d=33－5×d，d=6，a1=21－3×d=21－3×6=3
a8=3+（8－1）×b=45
方法二：第8项比第6项多了2个公差，第6项比第4项多了2个公差， 所以33－21=12相当于2个公差，第8项应该用第6项的33再加上2个公差。 得，a2=33+(33－21)=45
练习：
1、在14,17,20,23,26，??中，（1）第50项是多少？（2）296在第几项？
2?、在一个等差数列中，第6项是29，第10项是45，问首项是几？ 3?、在一个等差数列中，第20项是200，第10项是150，问第8项是几？
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第5讲 等差数列求和
要想算得快，算得准，算得巧，不仅要掌握数与运算的性质，而且要善于观察，注意发现题目的特点。学会了求等差数列的某项和公差，还要学会求数列中所有数的和。
一、求和公式推导 1、倒序法（顺序倒过来）
①S=1+2+3+4+??+98+99 S=99+98+97+96+??+2+1 ∴S=（1+99）×99÷2=4950.
②S=1+3+5+7+??+97+99 S=99+97+95+93+??+3+1 ∴S=（1+99）×50÷2=2500.
总结得出如下规律：总和=（首项+末项）×项数÷2
Sn=（ a1 + an）× n ÷2
练习：1+2+3+4+??+49+50
2、平均值法
①1+3+5=[（1+5）÷2] ×3=（6÷2）×3=3×3=9 ②1+3+5+7=[（1+7）÷2] ×4=（8÷2）×4=4×4=16 ③1+3+5+7+9=[（1+9）÷2] ×5=（10÷2）×5=5×5=25 总结得出如下规律：总和= 平均值 × 项数
（又a=（a1+an）÷2） Sn = a × n
=（a1+an）× n ÷2
练习：1+3+5+??+29
二、等差数列综合计算
例1：先求项数，再求和（或平均值法+求和公式） 计算：2+4+6+?+98+100
解析：这是一个公差为2，即d=2的等差数列，根据等差数列求和公式，这道题中首项是2，即a1=2，末项是100，即an=100，那么还有项数不知道，所以要利用求项数公式，先求出这个等差数列共有多少项。
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