雅博培训学校暑假四进五强化班数学讲义
第6讲 方阵问题
专题引导：
每年的八月一日，是我国的建军节，每逢这一天，人民解放军要在操场上接受检阅。海、陆、空军各排成一个相同的正方形队列，已知最外面的那排有战士50人，请问海、陆、空军共有多少人？解这个题目的重点在于要算出每个正方形队列有多少人，这就是典型的方阵问题，也是我们今天要学的内容。
一、知识要点
1、概念：将人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据已知条件求人数或物数，这类应用题叫做方阵问题。如果一个方阵是“实心”的叫实心方阵，如果一个方阵是“空心”的，叫做中空方阵。
2、方阵特征：
①方阵不论在哪一层，每边上的人数都相同，每向里一层，每边上的人数就少2。 ②方阵每向里一层，每层总人数就减少8。
3、基本数量关系：（设最外层每边人数为a，中空方阵层数为n，最内层每边人数为b） ①方阵总数：
1）实心方阵：总人数=a?a； 2）中空方阵：
ⅰ）总人数=a?a?(b?2)?(b?2)； ⅱ）总人数=4?(a?n)?n； ⅲ）总人数=4?(b?2?n)?n； ②每层总数和每边人数的关系： 1）每层总数=（每边人数-1）×4； 2）每边人数=每层总数÷4+1；
③在方阵中若去掉一行一列，则：去掉的人数=最外层每边人数×2-1；
4、解题思路与技巧：
①解方阵问题时，应注意观察方阵中行列的排列规律，找出巧妙的解法。 ②复杂的方阵问题可根据题意画出图，帮助分析思考找出解答方法。 ③理解每层总人数和每边人数之间的数量关系，以及相邻两边的人数相差2。
36
雅博培训学校暑假四进五强化班数学讲义
37
雅博培训学校暑假四进五强化班数学讲义
二、例题精讲
例1、在正方形鱼塘四周等距离种树，四个角都种一棵树，这样每边都有6棵，这个鱼塘四周共种了多少棵树？
解析：此题已知每边数求该层总数，由每层总数和每边数的关系：每层总数=（每边人数-1）×4可求。
这个鱼塘四周共种了树：4×（6-1）=20（棵） 答：这个鱼塘四周共种了20棵树。
例2、有一队士兵，排成了一个方阵，最外层一周共有240人，问这个方阵共有多少人？
解析：由每层总数和每边人数的关系可求最外层每边人数为：240÷4+1=61（人），再由实心方阵总数与最外层每边人数的关系求出总人数。
最外层每边人数为：240÷4+1=61（人）； 这个方阵共有：61×61=3721（人）
答：这个方正共有3721人。
例3、某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有 20个学生,问这个空心方阵最里边一层有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生? 解析：由方阵每向里一层，每边人数减少2的特征，可求最里一层每边的人数是（20-2-2-2）人，进而求出最里一层人数，再由中空方阵总数与最外边每边人数和层数的关系或最里边每边人数和层数的关系求出总数。
最里一层每边的人数是：20-2-2-2=14（人）； 最里边一层有：4×（14-1）=52（人）
这个四层空心方阵共有：20×20-（14-2）×（14-2）=256（人） 或4×（20-4）×4=256（人）或4×（14-2+4）×4=256（人）
或52+60+68+76=256（人）
答：这个空心方正最里边一层有52人，这个空心方阵共有256人。
例4、解放军进行排队表演，组成一个外层有 48 人，内层有 16 人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？
38
雅博培训学校暑假四进五强化班数学讲义
39
雅博培训学校暑假四进五强化班数学讲义
解析：内层比外层少：48-16=32（人），又由方阵的特征，每往里1层，每层总数减少8，所以层数为（32÷8+1）层，再由中空方阵总数与内外层每边人数的关系求总数。
这个方阵有：（48-16）÷8+1=5（层）； 最外层每边人数：48÷4+1=13（人）；
最内层每边人数：16÷4+1=5（人）
一共有：48+40+32+24+16=160（人）或13×13-（5-2）×（5-2）=160（人） 或4×（13-5）×5=160（人）或4×（5-2+5）×5=160（人）
答：这个方正有5层，共160人。
例5、军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？
解析：去掉一行去掉7人，此时每列只有6人，所以再去掉1列只能去掉6人，也可由去掉1行1列时，去掉的总人数与最外层每边人数的关系求出；7行7列是实心方阵，由实心方阵总数与最外层每边人数的关系可求出总数，减去去掉的人数，就是剩下的人数。
要去掉：2×7-1=13（人）；还剩下：7×7-13=36（人）
答：要去掉13人，还剩下36人。
例6、一农民要在承包地里栽上梨树，如果将这些树排成一个正方形实心方阵，还多12棵，如果横竖各增加一排，成为大一点的实心方阵，又差17棵，这批梨树共有多少棵？
解析：横竖各增加一排，除了原来多的12棵用了，还要17棵，说明大实心方阵最外层两边的棵数之和是（12+17）棵，最外层每边是：（12+17+1）÷2=15（棵），进而可求出大实心方阵的棵数，再减去补上的17棵，得原来的棵数。
大实心方阵最外层每边有：（12+17+1）÷2=15（棵） 这批梨树共有：15×15-17=208（棵）
答：这批梨树共208棵。
例7、五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心，五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
40