2013年全国各地中考数学试卷分类汇编
阅读理解型问题
1. (2013江苏南京，28，11分)
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y?2(x?)(x＞0)．
ax探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y?x?① 填写下表，画出函数的图象：
111 2 3 4 …… x …… 1 432
…… y ……
1(x＞0)的图象性质． xy 5 4 3 2 1 －1 O －1 1 2 3 4 5 x
（第28题）
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y?x?1(x＞0)的最小值． x4a．
1
2. （2013江苏南通，27，12分）（本小题满分12分） 已知A(1，0)， B(0,－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0），经过其中三个点.
（1） 求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上； （2） 点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？ （3） 求a和k的 值. 3. （2013四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2，与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x?4x?12?0的两个根。
2（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。
y O M A N C 28题图
B x
4. （2013江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，??，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方
2
法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是
41?202π？ 2请你解答上述两个问题.
2013年全国各地中考数学试卷分类汇编
阅读理解型问题
1：解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】解：⑴①函数y?x?1710551017，，，2，，，． 4322341(x?0)的图象如图． x
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当0?x?1时，y随x增大而减小；当x?1时,y随x增大而增大；当x?1时函数
y?x?1(x?0)的最小值为2． x1③y?x?
x3
=(x)?(212) x1211 )?2x??2x?xxx=(x)?(2=(x?12)?2 x11=0，即x?1时，函数y?x?(x?0)的最小值为2．
xx当x?⑵当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为
2：【答案】（1）证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0）得，
?4a?k?2，解得a＝0，这与条件a＞0不符， ?9a?k?2?∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. （2）【法一】∵A、C、D三点共线（如下图），
∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A、B、C； ②A、B、E； ③A、B、D； ④A、D、E； ⑤B、C、D； ⑥B、D、E.
将①、②、③、④四种情况（都含A点）的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0），解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解.
4
所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. 【法二】∵抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的顶点为（1，k）
假设抛物线过A(1，0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与（1）矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. （3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B、C、D三点时，则
?a?k??1?a?1，解得 ??4a?k?2k??2??3?a???8Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B、D、E三点时，同法可求：?
11?k???8.?3?a???a?1?8∴?或?
k??211??k???8.?3：【答案】
（1）∵x?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。
∴A(?2,0)，B(6,0)。
又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)，将点C的坐标代入，求得a?21。 3124x?x?4。 33∴抛物线的解析式为y?（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。
∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB?8，AM?m?2。
∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。
NHAMNHm?2m?2??，∴，∴NH?。 COAB48211CO?AM?NH ∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM?221m?21?(m?2)(4?)??m2?m?3 224∴
5