◆ 可爱的自由度—— 原子Bose-Einstein凝聚中的
Feshbach共振
张 永 德
中国科学技术大学
合肥微尺度物质科学国家实验室
量子信息部 二零一零年五月
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目 录
序 言
一，低能共振散射与原子Bose-Einstein凝聚
I，低能势散射
II，低能势散射中的共振现象
III，全同雾状原子的Bose-Einstein凝聚
a，凝聚温度的估算之一， b，凝聚温度的估算之二二，超冷全同原子凝聚体Feshbach共振（I）
I，低能Feshbach共振理论 II，Feshbach共振宽度 III，Feshbach共振的散射矩阵
IV，磁可控，超精细诱导Feshbach共振
三，原子凝聚体Feshbach共振的多体效应（II）
V，全同原子多体系统中的 Feshbach共振相互作用 VI，凝聚体混合动力学 VII，粒子损失效应
VIII，关于分子凝聚体形成的结论与注记
四，原子凝聚体Feshbach共振的静力学（III） 五，附录——超精细Zeeman分裂与内态之间的散射
I， 碱金属的基态电子构形与超精细分裂 II，Li原子例子及双态模型计算 III，不同内态之间的散射
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序 言
这篇讲义主要依据脚注 1 几篇文献，讲解Bose-Einstein凝聚系统多体行为的Feshbach共振现象。因时间仓促和作者知识所限，只限于基本理论推导和主要物理解释，不涉及相关问题的历史及应用。
按照定义，Feshbach共振涉及两体准束缚的中间态，所以又称作闭道碰撞。这些中间态并不像字面那样被束缚住，由于和（比如，入射弹丸-靶系统的）其它道连续态相互作用，这些中间态只能生存有限寿命，所以称作准束缚态。比如，在电子-原子和电子-离子散射中，中间态会发射所俘获的电子而衰变掉。这些态被称作自动电离态。 现在感兴趣的原子-原子散射的Feshbach共振中，中间态是带有电子和核自旋（精细相互作用重排了两个碰撞原子的自旋）的分子。入射道连续态是单道原子-原子散射问题的散射态，而中间分子态将与入射道连续态相互作用。
稀薄超冷原子Bose-Einstein凝聚的性质对散射长度数值极为敏感，尤其是在Feshbach共振情况下。此外，更重要的是，这种冷原子系统粒子间有效相互作用强度可以通过外磁场灵敏地调控。在多体研究中，这种可以灵敏调控的自由度是可爱的。所以超冷原子Feshbach共振极端重要，在多体研究中成为有高度兴趣的课题，是很有前途的实验手段。
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①E.Timmermans et al., Feshbach resonances in atomic Bose-Einstein condensates, Physics Reports, 315(1999)199-230。② Immanuel Bloch et al.，Many-body physics with ultracold gases，Rev. Mod. Phys.，80(2008)885-964。 ③ R.A.Duinwe, et al., Atom—molecule coherence in Bose Gases, Physics Reports, 396(2004)115-195。 ④ S. Giorgini, et al., Theory of ultracold atomic Fermi gases，Rev. Mod. Phys.，80(2008)1215-1274。
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一，低能共振散射与原子Bose-Einstein凝聚
I，低能势散射（此节公式编号与与脚注14文献相同）
两个不可区分的玻色性原子碰撞。设原子间相互作用V?r?，分波法展开
??r,????clPl?cos??Rkl?r?,?kl?r??rRkl?r?l?0?d2?kl?2l?l?1?2M?k??Vr????kl?r??0?222drr???
轨道角动量产生一个势垒，高度~l?l?1??2ML2，L为原子间相互作用的
力程，M是单个原子质量。就是说，在力程范围内随量子数l增加而增加。所以此势垒的物理作用，就定态而言是离心作用，使原点成为零点（详细情况及塌缩讨论见脚注3文献[附录C]）；就散射而言是阻止原子间碰撞，尤其阻止原子之间的各向异性散射。低能散射下，平动能量很低，碰撞粒子能量不足以克服轨道角动量造成的离心势垒，各向异性的高阶分波散射全部消失，只剩下各向同性的s分波散射。设L~10aB，此势垒为~?10?100?mK。于是在温度低于1mK的冷原子样品中，玻色性原子经受纯s波散射。作为对照，Bose-Einstein凝聚温度的量级为1?K。
下面只求解径向s波的渐近波函数：
kr???sin?kr??0?kr?? uN?r???? ?exp?ikr?i?0??exp??ikr?i?0???2ikr （1）
?0为s分波相移。出射态的波函数（f为散射振幅）为
kr???k?r,??????exp?ikz??fexp?ikr?r (2)
f???s0?1??2ik (3) ?exp?2i?0??1??2ik?? 4
这里s0?exp?2i?0?。在波函数?k?r,??分波展开中，s分波成份为 2 ：
kr???k?r,??s????exp?i?0?uN?r? (4)
下面考虑的是入射和出射球面波的叠加，由（1）式可得
????0?r??exp??ikr?r?s0exp?ikr?r??2ikexp?i?0?uN?r?,r?? (6)
在原子阱凝聚体中，两个一价碱金属原子通过相互作用（可称作分子势）结成束缚态。于是，按照Levinson定理 3，uN?r?在原子间相互作用区域内存在节点，节点个数等于相应位势中束缚态数目。进一步，超冷碰撞能量的渐近解uN?r?基本上与能量无关：这时de Broglie波长2?k大大超过原子间相互作用区域尺度L。于是，当核间距离r处于L?r?k?1区域内时，ru?r?~?r?a?，a为散射长度（?0??ka），渐近解和碰撞能量无关，只由单参数a决定：
uN?r???kr??0?kr?1??0kr?1?ar,?L?r?k? (7)
?1这里，对吸引力，?0?0，a是负的；对排斥力，?0?0，a是正的。
II，低能势散射中的共振现象
在整个散射实验范围里，最显著的现象大概就是共振散射了。它最简单的形式就是（作为能量函数的）总截面出现尖锐峰。在原子物理、核物理、粒子物理中都可以观察到这种共振散射现象。对这种现象有许多不同的理论研究。它们全都认为，在入射粒子某些能量Ek处，入射粒子--靶粒子系统可以构成准束缚态。入射粒子被俘获而处于这类亚稳状态。这种准束缚态的存在是导致散射总截面突然增大的
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下面(4)式见张永德，《量子力学》，p.272。即为该书??r,??渐进展开式中第一项（l?0）。
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张永德，《高等量子力学》，下册，p.488。
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