散射，所以两原子通过电子三重态1,0ee的分子位势进行相互作用。然而，双原子超精细相互作用
Vhf?ahf??2???????s1?i1?s2?i2?? ?2??2不和总自旋S??s1?s2?对易，它能够翻转三重态电子自旋为单态构
形。在核间距离大的情况下，这个单重道对应于单个自旋翻转原子的双原子体系。在接近共振条件下，单态（M道）位势支持着一个准束缚态?m?r?Sj?。它是一个靠近P道连续谱的能量为Em、（电子和核的）总自旋态为Sj?的准束缚分子态。
在H演化下，原子--分子的耦合转换P?M由两个过程
HPM?HMP之和组成。耦合由双原子精细相互作用Vhf所提供。表征共
振的是显示此处道间耦合强度的参数?，它是自旋矩阵元和正规三重态波函数与分子单态波函数交叠的乘积，
??Sf?VhfSin??d3r?m?r?uN?r? （36）
?由于观察到的共振是在中等磁场强度下制备的，所以事实上单个原子真正自旋态并不是mi,ms为好量子数的态。代替单个原子自旋，自由度占据在这样一个态上，这个态将把单原子Hamilton量
Hspin(1)ahf????2s1?i1?B?????2?es1??Ni1?? （37）
?右边第一项是单原子超精细相互作用，由ahf所表征，这个能量依赖于同位素（比如，对23Na有ahf?42.5mK）。在零磁场（B?0）下，对角化产生超精细态，它们好量子数是f（单原子总自旋f?s?i）。在高磁场（B?ahf?e?）下，超精细相互作用可以按最低阶微扰论处理，电子和核自旋都处于mi,ms为好量子数的态。对任意磁场强度，原子
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态为线性叠加态c?12mi?m?,ms?12?111系数可?c12mi?m?,ms?。
222将Hspin(1)对角化。于是当每一个碱金属原子都处于特定自旋态时，两个碱金属原子系统一般处于单态和三重态的线性叠加态上。
?将原子采用投影向总电子自旋S为好量子数的态的投影算符?S?表示成双原子Hamilton量： 间相互作用V??V?r??V?S?S （38）
S也将双原子超精细相互作用的自旋标量乘积写作总电子自旋和总核
???自旋（I?i1?i2）：
?????????????s1?i1?s2?i2??s?s?i?i?s?s?i??12?12?12?1?i2?2 ???????S?I?Sd?Id??2??????这里Sd,Id分别表示“自旋差算符”。它们在交换脚标时反号，是反称
的。它们只将量子数I,S相差为1的量子态（单重态——三重态）耦合起来。
?,H将上面Vhf,V总和起来，碰撞中双原子体系的自旋相关spin(1?2)Hamilton量有如下形式： HSpin?1,2?即
???HSpin?1,2??HSpin?1,2???VS?S?0S??2?eS??NI?ahf????ahf??????2S?I?B???VS?S?2Sd?Id
2??2?Sahf??S?Id （40） 2d2?此方程提示，将碰撞道如下划分很方便：将双原子/自旋系统划分成为（由态I,S;MI,MS适当叠加而成的）好量子数I,S的、能将算符
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??HSpin?1,2?对角化的子空间j。相应的本征值决定j道的连续能级。通过
0???构造，原子--原子相互作用位势V对这些道是对角化的，但Sd?Id项是
非对角项。在描述碰撞中，将入射双原子系统的自旋态Sin投影到碰撞道j:Sin??Sin;j。相互作用Sd?Id将j道跃向另一个自旋翻转的
j??双原子自旋态Sf?，如果这个自旋翻转道的相互作用位势能够支撑一个束缚态?m?r?Sf?，且其能量Em靠近入射道的连续能量，就会发生Feshbach共振。相应的参数?等于
?j,j?,m?ahf2?2Sf????Sd?IdSin;j??d3r?m?r?uN,j?r?
?这里，磁场强度是实验的旋钮，控制着共振调谐。失谐参数?是准束缚态能量Em与入射原子连续能量之差。令束缚道（闭道）势阱Vclch?r?与散射道（开道）势阱Vopch?r?在r??时之差为?：
????Eclosedchannel?r??Eopenchannel?r???r???Em??
这里Em为准束缚态的束缚能。当B?Bm取共振值时，从入射道看，准束缚分子能量在入射原子连续能级线上，以致?等于束缚态的束缚能??Em。靠近共振处??Em?????B???B?Bm??。于是失谐参数?为
????Em?????B???B?Bm?? 最终，靠近共振处的有效散射长度方程（34）式成为
??B?? （42） aeff?a?1?,?B??a????B??B?Bm?于是，对磁场强度的依赖关系是“断续而发散的”。同样，有效相互作用强度方程（35）式成为
?eff???1??
?? （43） B?Bm?23
?B?
6Li散射长度对外磁场的一个宽Feshbach共振，
间断点是共振点B0?843G（Bourdel, etal.，2003）16 在Feshbach共振点附近，散射长度对外磁场改变异常灵敏，从而很便于用外磁场来调控 17。比如说，可以从大磁场下很小的负a值出发，将磁场减小，以便增加a的绝对数值，达到共振点，同时散射长度发散。再考察共振的另一边，那里a变成正值，并且最终变得很小。
不要天真地认为，用这种使a变成正值办法，就达到了排斥气体的区间。并非如此的原因是存在Feshbach共振。散射长度的正数值并非来源于斥力，而是来源于两体问题中出现二聚物的束缚态。这种二聚物尺寸量级上是散射长度，束缚能是?bound???2ma2。这些二聚物由两个Fermion组成，具有boson性质。假如气体足够稀薄和低温，它们最终会导致Bose-Einstein凝聚。然而，二聚物的尺度不能太小，它们应当比分子的深束缚能级的尺度要大。这要求a~R?，于是就保
16
S. Giorgini, et al., Theory of ultracold atomic Fermi gases，Rev. Mod. Phys.，80(2008)1222。 17
同上，p.1226。
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证了弱束缚二聚物系统有足够的稳定性，使得当二聚物间碰撞时，二聚物向分子深束缚能级的跃迁可以忽略。
三，原子凝聚体Feshbach共振的多体效应（II）
V，全同原子多体系统中的 Feshbach共振相互作用
目前，对于整个BCS?BEC转型过程还没有一个精确的解析解。 为了描述“同类”粒子组成的多体系统的物理性质，采用二次量子化方法很恰当。对现在情况，最方便的是选用单粒子平面波作为准粒子基，进行产生或湮灭的描述。由此，将“场”按这组基展开作为：
??1??????r,t??ck?t?expik?r ???k??二次量子化的Hamilton量密度和Hamilton量为
2????????????????????????Hr??r??Vr?r??r?r?r?r???????????????????ext?2m2?? （44） ?????d3rH??rH????当超稀薄原子阱系统的密度n??1013?1015?cm3，有na3??10?8?10?4?。因此，粒子间的相互作用本质上是双原子体系的。特别是，原子-原子相互作用可以描述成双原子碰撞，部分理由是碰撞复合体生存时间如此短促，以致于碰撞复合体和其它粒子的相互作用可以忽略。这个假设是一个重要的依据，使我们在原子-原子相互作用的形式多体处理中，作为“阶梯近似”的结果能够重新引入双原子散射长度。这种处理的最后结果就是前面的???4??2M?a。较低的气体密度允许采用处理方案???eff，这里?eff是方程（43）的描述双原子碰撞的有效相互
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