而是意味着凝聚体系统多体物理学中基本和可观察的差异。
我们指出，分子凝聚体成分的形成并不违背通常的常识。比如，在分子被极快破坏的极限下，为响应磁场突变所发生的振荡是“过阻尼”的，并且找不到分子凝聚体的信号。于是，有兴趣和重要的是去注意，分子凝聚体的寿命能够大大地超过单个分子的寿命。
还应当指出，分子凝聚体的出现并不破坏能量守恒。的确，在双体碰撞中，分子从入射原子那里得到的能量和动量一般说是“在壳外”，这使得分子的创生只能被理解为在虚粒子意义上。然而，这个考虑并不阻止“分子凝聚体”的出现。在一个凝聚体系统中，不可能为总波函数的一个单粒子分量去设定一个确定的能量。但是，可以对“分子凝聚体”设定一个化学势：?a是原子凝聚体的化学势，?m是分子凝聚体的化学势。这两个化学势包含着非线性自身相互作用项（比如，
?a?a就是对?a的一种贡献），而?m则包含着单个分子能量?。形成
2单个分子所需要的能量于是就等于?m?2?a。有趣的是，在平衡的凝聚体混合物中?m?2?a（如同下节讨论的那样）。于是在平衡的凝聚体混合物中，制造一个分子并不耗费能量，即便?不等于零也如此。在这个意义上，分子的能量和动量是“在壳上”，并且可以将它们看成不破坏任何守恒律的长寿命实粒子。
四，原子凝聚体Feshbach共振的静力学（III）
见脚注文献14第219页以下，从略。
五，附录——超精细Zeeman分裂与内态之
31
间的散射
I，碱金属基态的电子构形与超精细分裂 20
Z 电子自旋 电子构形
H 1 12 1s Li 3 12 1s22s1
Na 11 12 1s22s22p63s1 K 19 12 1s22s22p63s23p64s1 Rb 37 12 ?Ar?3d104s24p65s1 Cs 55 12 ?Kr?4d105s25p66s1
其中，?Ar??1s22s22p63s23p6，?Kr??1s22s22p63s23p63d104s24p6。
???B?Bez下，原子中价电子磁矩与原子核磁矩与外磁场作外磁场
用，以及它们相互作用产生原子光谱超精细分裂（hyperfine splitting
—hf）的Zeeman效应。
?????????。于?设电子角动量为J，原子核角动量为I，总角动量F?J?I是和外磁场的相互作用Hamilton量为 21
???????IzI????Hinter?Vhf??2?BJz???B,?????II??? ??????2??????16??????1n?je?V????B?AI?J????0I?J,B?dV????B?hf2?3Icr???由此即得超精细分裂的能移为
?Ehf?????AI?JF?I?JF?I?J?A?F?F?1??I?I?1??J?J?1???2?F?I?JF?I?J
20
同脚注15文献，p.42。 21
也见L.D.Landau et al., 量子力学（非相对论理论），下册, 高教社，§121公式(121.9)。
32
???，超精细?为简单，考虑碱金属，这时价电子轨道角动量为零，J?S分裂是双分裂。于是有
?Ehf?216?I?121???B???0???I??A 3I2??例如，87Rb原子核反常磁矩??2.751?N（?N为核磁子，其数值远小于Bohr磁子?N???B），核自旋I?32，其 ?E?2A。
将上面相互作用Hamilton量简记作 22：
????????DI?,C?g?B,D???BI Hinter?AI?J?CJzzB对87Rb有D??1.834?N。注意CD~mpme?2000，对大多数应用来说D可以忽略。在同样量级上电子g因子可取作2。取无耦合表象?mI,mJ?共计8个基矢。这个Hamilton量可以用统一方式求解（见脚注22）。
?1????IzJz??I?J??I?J??下面用脚注15文献第44-48页办法求解。由I?J2直接求得其中两个能级为
1313?31?3??3?1?3E?,??A?C?D;E?,??A?C?D
2222?22?4?22?4?守恒，于是它们对磁场的依赖是线性的。由于此Hamilton量保持Fz叠加只在mI,?11,mI?1,之间进行 22F,mF?mI?111??mI,???mI?1, 222于是其它态的能量可将相应的2阶矩阵对角化求得。首先考虑
mI?mJ?1??32,?12,12,12?情况，这时
22
其实，对任意磁场强度，此Hamilton量可以统一求解。详见张永德《量子力学》，科学出版社，2008年。第九章。
33
?313??A?C?D22?4?3A??2?3A??????2????E???
111???????A?C?D?422?若要非零解，即矩阵对角化，给出
E??A3212?D?A??A?C?D? 444对态叠加mI?mJ??1???32,12,?12,?12?情况，对应的矩阵只需作替换C??C,D??D即可。对mI?mJ?0??12,?12,?12,12?情况，矩阵为
1?1??A?C?DA???4???????2?????E???11??????A?A??C?D??? ???42?E??112A?A2??C?D?44其余从略。
II，Li原子例子及双态模型计算
Li原子
23
。电子自旋12核自旋1。考虑a,b两个Li原子碰撞，分
别制备在状态mf??12上，即a?ms??12,mi?1（混有少量；b?ms??12,mi?0（混有少量ms?12,mi??1）。ms?12,mi?0）
于是，在这两个最低态上的两个原子主要是散射向它们的三重态。相当一般性地，在碰撞中的相互作用能够写作求和的形式：
V?r??1??????3Vr?Vr?Vr?Vrs????????tsts1?s2 ????4这里，Vs和Vt分别是单态和三重态的分子位势。si是每个原子的价电
23
Immanuel Bloch et al。，Many-body physics with ultracold gases，RMP，80，885（2008）。
34
?子自旋。在大距离上，位势Vs和Vt有着van der Waals吸引势的同样行为，但在短距离上行为相当不同：有很深的吸引势深阱，而且Vs的吸引势深阱比Vt的吸引势深阱更深一些。现在，在强磁场下，初态a,b并不是纯粹的三重态。由于V?r?的张量性质，这个自旋态在碰撞期间将发生演化，更精确地说，因为V?r?第二项在基a,b中并不是对角的，自旋态a,b可以耦合到其它散射道c,d，只要保持总自旋z分量mfa?mfb?mfc?mfd即可。当两个原子彼离开时，c,d的Zeeman效应加上精细能量超过制备在a,b态的这对原子初始动能。超过的量为精细结构能量的量级。由于热能远小于超冷碰撞的动能，道c,d很靠近，并且经碰撞后原子总是在开道态a,b出现。然而，由于a,b通过
V?r?第二项（它典型的量级是ev）和c,d的强耦合，于是开道的有
效散射振幅能被显著的修改。
现在构造一个简单的双道模型，以体现低能Feshbach共振的主要特征。考虑以折合质量Mr相碰撞的两个原子。开始制备在开道上，其位势势Vop?r?导致本底散射长度abg。选取能量的零点使得
Vop????0。在开道入射碰撞过程中，经过矩阵元W?r?发生和具有位
势Vcl?r?（Vcl????0）的闭道相耦合。W?r?的区间为原子尺度rc的量级。为简单只考虑一个闭道，这和考虑孤立共振峰相对应。
??2????VrWr??????op2Mr? H?????2W?r????Vcl?r?????2M?r?再假定abg的量级为van der Waals长度。当闭道有一个能量接近于零的束缚态时，散射共振就发生了。假定碰撞态的磁矩不同于开道和闭
35